ANNEAUX COMMUTATIFS

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

L'arithmétique élémentaire et les anneaux principaux

Un anneau principal est un anneau d'intégrité dans lequel tout idéal est principal, c'est-à-dire formé des multiples d'un même élément, appelé générateur de l'idéal. L'étude de la divisibilité dans un tel anneau est analogue à la théorie arithmétique élémentaire des nombres entiers, qui en constitue d'ailleurs un cas particulier. L'étude de la divisibilité dans l'anneau K [X] des polynômes à une variable sur un corps K rentre aussi dans ce cadre.

Exemples

a) Montrons que l'anneau Z des entiers relatifs est principal. La démonstration repose sur la propriété suivante de divisibilité dans cet anneau : étant donné deux entiers rationnels a et b, > 0, il existe un couple et un seul d'entiers rationnels q et r tels que :

les nombres q et r s'appellent respectivement le quotient et le reste de la division de a par b. Soit donc maintenant a un idéal de Z. Si a = {0}, on a a = (0) ; sinon a contient des éléments strictement positifs puisque avec tout élément a il contient son opposé − a = ( − 1) a. Soit b le plus petit élément strictement positif de a ; montrons que tout élément a de a est un multiple de b. En effet, l'existence de la division dans Z permet d'écrire a = bq + r, 0 ≤ b ; or le multiple bq de b appartient à a, donc aussi r = a − bq : la définition de b entraîne r = 0.

b) Un autre exemple important d'anneau principal est l'anneau K[X] des polynômes à coefficients dans un corps commutatif K. La démonstration repose ici encore sur l'existence dans cet anneau d'une division « euclidienne » : si A et B sont des polynômes, il existe un couple et un seul de polynômes Q et R tels que A = BQ + R, le degré de R étant strictement inférieur au degré de B. On montre alors, par une démonstration analogue à ce qui précède, qu'un idéal a ≠ (0) de K[X] est formé des multiples de tout polynôme B non nul de a dont le degré est le plus petit possible.

c) À propos de recherches sur les formes quadratiques, Gauss a utilisé le fait que l'anneau des [...]



1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 10 pages




Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

Classification


Autres références

«  ANNEAUX COMMUTATIFS  » est également traité dans :

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 34 159 mots

Dans le chapitre « Espèces de structures plus riches que celle d'algébroïde à gauche (ou à droite) sur un annoïde »  : […] Une algèbre sur un anneau commutatif A (ou A -algèbre ) est un algébroïde A  = (E, λ ∗ , λ ♥ , λ • ) sur un annoïde A tel que A  = (A,  l ⊤ ,  l ⊥ ) soit un anneau commutatif, (E, λ ∗ , λ • ) un A -module et λ ♥ une loi de composition interne dans E. Parmi les structures sous-jacentes à une structure S A g  = ( S l ⊤ ,  S l ⊥ ,  S l ∗ ,  S l ♥ ,  S l ) d'algèbre sur un anneau commutatif A  = […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-algebriques/#i_24010

ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 224 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Anneaux »  : […] Un anneau A est un ensemble muni de deux lois de composition internes( x ,  y  )→  x  +  y et( x ,  y  )→  xy, appelées addition et multiplication respectivement, qui possèdent les propriétés suivantes : (c) existence d'un élément, noté 0, tel que, pour tout élément x de A on ait : (d) existence, pour tout x de A, d'un élément, noté −  x, tel que : (g) bien que cela ne soit pas toujours ainsi da […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-et-algebres/#i_24010

ARTIN EMIL (1898-1962)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 324 mots

Dans le chapitre « Travaux divers et enseignement »  : […] Disons quelques mots des autres travaux algébriques d'Artin. Dans un mémoire de 1928, il étend certains résultats de la théorie des algèbres aux anneaux commutatifs dans lesquels il n'existe pas de chaîne infinie décroissante d'idéaux à gauche ; ces anneaux sont appelés artiniens. Il appartenait aussi à Artin, en collaboration avec O. Schreier, de montrer l'importance des corps ordonnés. Pour rés […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/emil-artin/#i_24010

CONSTRUCTION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 434 mots

Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix e  siècle et surtout le début du xx e , on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire. Après de nombreuses crises, on en est arrivé à bâtir cette science sur le socle d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/construction-mathematique/#i_24010

NORMÉES ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc SAUVAGEOT, 
  • René SPECTOR
  •  • 4 735 mots

Dans le chapitre « Définition »  : […] Une algèbre normée est un ensemble muni à la fois d'une structure d'espace vectoriel sur le corps des nombres complexes, d'une structure d' anneau et d'une norme (se reporter à l'article anneaux et algèbres ). Plus précisément, notons C le corps des nombres complexes. Un ensemble A est alors une algèbre normée si les conditions suivantes sont réunies : a ) On définit sur A deux lois de composition […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebres-normees/#i_24010

POLYNÔMES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 2 313 mots

Dans le chapitre « Définition »  : […] Soit A un anneau commutatif unitaire. On appelle polynôme à une indéterminée (cette terminologie sera justifiée plus loin) à coefficients dans A toute suite : d'élément de A nuls sauf au plus un nombre fini d'entre eux (c'est-à-dire tous nuls à partir d'un certain rang). Les éléments a i sont les coefficients du polynôme P. Les polynômes étant définis comme des cas particuliers de suites (c'es […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/polynomes/#i_24010

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « ANNEAUX COMMUTATIFS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-commutatifs/