DIVISIBILITÉ

L'étude élémentaire de la divisibilité dans l'anneau Z des entiers relatifs résulte de l'existence de la division euclidienne qui entraîne que cet anneau est principal. Les propriétés générales des anneaux principaux sont exposées dans l'article anneaux commutatifs, et nous nous contenterons ici d'énumérer les principaux résultats relatifs au cas particulier qui nous occupe ici.

L'étude plus fine et plus spécifique de l'anneau Z (nombre de diviseurs d'un nombre donné, somme de ces diviseurs, etc.) introduit des fonctions arithmétiques multiplicatives. Les indications qui suivent sont très élémentaires, mais il est important de noter qu'un grand nombre des résultats obtenus ont été généralisés aux corps de nombres algébriques ; le dernier chapitre donne un aperçu de ces propriétés dans le cas des corps quadratiques, en renvoyant à l'article théorie des nombres - Nombres algébriques pour l'exposé de la théorie sous sa forme contemporaine.

Propriétés élémentaires

L'anneau Z des entiers relatifs possède la propriété suivante de division euclidienne : si a et b sont deux entiers relatifs, b ≠ 0, il existe des entiers q et r déterminés de manière unique par les conditions :

q s'appelle le quotient de la division de a par b et b est le reste de cette division. Si le reste est nul, cela signifie qu'il existe un entier q tel que a = bq ; on dit alors que b divise a, ou que a est un multiple de b.

Dans ce qui suit, nous nous limiterons, sauf mention explicite du contraire, aux entiers positifs. On écrit b |a si b divise a. Cette relation de divisibilité est une relation d'ordre dans les entiers naturels ; en effet, elle est réflexive car a | a, transitive car c | b et b | a entraînent c | a, antisymétrique car a | b et b | a entraînent a = b. Cet ordre n'est pas total car deux entiers a et b ne vérifient pas obligatoirement l'une des relations a | b ou b | a. Un nombre p ≠ 1 est dit premier s'il n'est divisible que par 1 et par lui-même.

Soient a et b deux entiers positifs ; on montre qu'il existe un diviseur commun d de a et de b tel que les diviseurs communs de a et de b soient exactement les diviseurs de d ; ce diviseur commun privilégié est appelé le plus grand commun diviseur (en abrégé P.G.C.D.) de a et de b et se note d = (a, b). Si (a, b) = 1, c'est-à-dire si le seul diviseur commun de a et de b est 1, on dit que a et b sont premiers entre eux. Une condition nécessaire et suffisante pour que a et b soient premiers entre eux est qu'il existe des entiers relatifs x et y tels que :

Ce résultat entraîne facilement le lemme de Gauss : si un entier c divise un produit ab et est premier avec a, alors il divise b. On en déduit le théorème fondamental de la décomposition en facteurs premiers : tout entier naturel a > 1 est décomposable, d'une manière unique, en un produit :

de nombres premiers p₁, p₂, ..., p_n distincts ; les exposants k_i sont des entiers ≥ 1. On peut, à partir de là, donner la règle d'obtention du P.G.C.D. de nombres ainsi décomposés : prendre les facteurs premiers communs avec les exposants les plus petits. On peut aussi bâtir sur ces décompositions la théorie du plus petit commun multiple (en abrégé P.P.C.M.) de deux nombres : prendre les facteurs premiers, communs ou non, avec leurs exposants les plus grands. Le P.P.C.M. ainsi introduit de a et b est un multiple commun m tel que les multiples communs de a et de b soient exactement les multiples de m ; il est relié au P.G.C.D. d de a et de b par la relation md = ab.

Indiquons enfin que les notions de P.G.C.D. et de P.P.C.M. s'étendent sans difficulté au cas de n entiers a₁, a₂, ..., a_n.

1  2  3  4  5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 6 pages