ANNEAUX COMMUTATIFS

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Les anneaux de Dedekind et la théorie multiplicative des idéaux

L'extension de l'arithmétique classique aux anneaux d'entiers algébriques s'est longtemps heurtée au fait que ces anneaux ne sont pas factoriels. Par exemple, dans l'anneau Z[− 3] des nombres complexes de la forme a + ib 3, a, b entiers relatifs, le nombre 4 admet les deux décompositions :

en facteurs premiers non associés deux à deux et par suite cet anneau n'est pas factoriel. Dedekind, à partir des travaux de Kummer, mit en évidence que, pour un tel anneau A, la notion importante était celle d'idéal premier et non pas d'élément premier, comme pouvait le faire croire l'étude élémentaire des entiers relatifs. En somme, tout revient ici à remplacer l'étude du monoïde A* des éléments non nuls de A par celle du monoïde M(A) des idéaux non nuls de A ; on trouve l'unicité de la décomposition en facteurs premiers « idéaux ». Chaque élément a non inversible de A* étant identifié à l'idéal principal (a) qu'il engendre peut ainsi s'écrire, de manière unique, comme un produit d'idéaux premiers.

La définition abstraite des anneaux de Dedekind que nous formulons ici a été donnée pour la première fois, en 1927, par la mathématicienne allemande Emmy Noether.

Anneaux de Dedekind

Par définition, on appelle anneau de Dedekind tout anneau intégralement clos et noethérien (c'est-à-dire dans lequel tout idéal est engendré par un nombre fini d'éléments) dans lequel tout idéal premier non nul est maximal. Cela signifie que le quotient de A par un idéal premier non nul quelconque est non seulement un anneau d'intégrité mais même un corps.

L'exemple le plus simple d'un tel anneau est l'anneau Z [d] des nombres de la forme a + d, a, b entiers relatifs, d entier tel que d ≡ 2 ou 3 (mod. 4). Plus généralement, Dedekind a démontré que, si K est une extension finie du corps Q des nombres rationnels (K est appelé un corps de nombres algébriques), alors la fermeture intégrale A de l'anneau Z dans K est un anneau de Dedekind (A est appelé l'anneau des entiers du corps K). En fait, l'exemple [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 10 pages


Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

Classification


Autres références

«  ANNEAUX COMMUTATIFS  » est également traité dans :

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 34 159 mots

Dans le chapitre « Espèces de structures plus riches que celle d'algébroïde à gauche (ou à droite) sur un annoïde »  : […] Une algèbre sur un anneau commutatif A (ou A -algèbre ) est un algébroïde A  = (E, λ ∗ , λ ♥ , λ • ) sur un annoïde A tel que A  = (A,  l ⊤ ,  l ⊥ ) soit un anneau commutatif, (E, λ ∗ , λ • ) un A -module et λ ♥ une loi de composition interne dans E. Parmi les s […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-algebriques/#i_24010

ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 224 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Anneaux »  : […] Un anneau A est un ensemble muni de deux lois de composition internes( x )→  x  +  y et( x ,  y  )→  xy, appelées addition et multiplication respectivement, qui possèdent les propriétés suivantes : (c) existence d'un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-et-algebres/#i_24010

ARTIN EMIL (1898-1962)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 324 mots

Dans le chapitre « Travaux divers et enseignement »  : […] Disons quelques mots des autres travaux algébriques d'Artin. Dans un mémoire de 1928, il étend certains résultats de la théorie des algèbres aux anneaux commutatifs dans lesquels il n'existe pas de chaîne infinie décroissante d'idéaux à gauche ; ces anneaux sont appelés artiniens. Il appartenait aussi à Artin, en collaboration avec O. Schreier, de montrer l'importance des corps ordonnés. Pour rés […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/emil-artin/#i_24010

CONSTRUCTION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 434 mots

Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix e  siècle et surtout le début du xx e , on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/construction-mathematique/#i_24010

NORMÉES ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc SAUVAGEOT, 
  • René SPECTOR
  •  • 4 735 mots

Dans le chapitre « Définition »  : […] Une algèbre normée est un ensemble muni à la fois d'une structure d'espace vectoriel sur le corps des nombres complexes, d'une structure d' anneau et d'une norme (se reporter à l'article anneaux et algèbres ). Plus précisément, notons C le corps des nombres complexes. Un ensemble A est alors une algèbre normée si les conditions suivantes sont réunies : a […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebres-normees/#i_24010

POLYNÔMES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 2 313 mots

Dans le chapitre « Définition »  : […] Soit A un anneau commutatif unitaire. On appelle polynôme à une indéterminée (cette terminologie sera justifiée plus loin) à coefficients dans A toute suite : d'élément de A nuls sauf au plus un nombre fini d'entre eux (c'est-à-dire tous nuls à partir d'un certain rang). Les éléments a i sont les […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/polynomes/#i_24010

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « ANNEAUX COMMUTATIFS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-commutatifs/