AXIOMATIQUE

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La méthode axiomatique est un mode d'exposition des sciences exactes fondé sur des propositions admises sans démonstration et nettement formulées et des raisonnements rigoureux. On se limitera ici à quelques indications méthodologiques et historiques, en renvoyant à l'article logique mathématique pour les problèmes posés par l'étude des systèmes d'axiomes.

L'axiomatique commence par un inventaire exhaustif de toutes les propositions que l'on admet sans démonstration et qui ne sont pas des définitions ; ces propositions, appelées axiomes, ou parfois postulats, constitueront le point de départ de la théorie que l'on se propose d'édifier. Parmi les axiomes d'une théorie figurent des règles de déduction (appelées aussi axiomes de la logique) qui sont communes à toutes les sciences déductives. À partir de ces données, on s'astreint à démontrer les autres résultats, ou théorèmes, de la théorie considérée, en proscrivant toute affirmation non issue des axiomes ; en particulier, tout recours à l'expérience sensible ou au sentiment subjectif est à rejeter.

Les mots, signes ou termes qui interviennent dans la rédaction des axiomes sont dépouillés de la signification qu'ils peuvent avoir dans le langage courant ; ainsi D. Hilbert pouvait affirmer, dans une boutade célèbre : « Au lieu des mots : points, droites, plan, en géométrie, on doit pouvoir dire sans inconvénient : tables, chaises, verre de bière ! » De même, la réalité métaphysique des objets mathématiques n'est pas prise en considération ; seules comptent les relations explicitement précisées par les axiomes entre les signes représentant ces objets, eux-mêmes explicitement précisés par les axiomes.

Origines de l'axiomatique mathématique

L'axiomatique considérée comme mode idéal de rédaction d'un traité scientifique est une conception de la mathématique grecque : les Éléments d'Euclide constituent, à cette époque (iiie s. av. J.-C.), la tentative la plus audacieuse de réaliser cet idéal. L'exécuti [...]


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Pour citer l’article

Georges GLAESER, « AXIOMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/axiomatique/