NOMBRES (THÉORIE DES) Théorie analytique
Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici presque exclusivement de problèmes particuliers qui se posent en arithmétique et qui, pour la plupart, consistent à étudier (cf. calculs asymptotiques pour la position du problème et les notations o et O de Landau) l'« allure à l'infini » de certaines fonctions définies par des conditions de nature arithmétique : par exemple le nombre π(x) de nombres premiers p ≤ x ou le nombre U(n) des solutions de l'équation x21 + x22 = n en nombres entiers. Depuis 1830, on a imaginé, pour résoudre ces questions, des méthodes d'une extraordinaire ingéniosité qui consistent à associer aux fonctions arithmétiques étudiées des fonctions analytiques auxquelles on peut appliquer la théorie de Cauchy ou l'analyse harmonique ; mais, malgré les succès spectaculaires obtenus par ces méthodes, on ne peut dire que l'on en comprenne vraiment les raisons profondes.
La théorie additive
Le point de vue formel
Un monoïde est un ensemble M où est définie une loi de composition (s, t) ↦ st qui est associative et possède un élément neutre e (autrement dit es = se = s pour tout s ∈ M) ; les groupes sont évidemment des monoïdes ; d'autres exemples importants sont formés par l'ensemble N des entiers ≥ 0, avec pour loi l'addition, et l'ensemble N* des entiers > 0, avec pour loi la multiplication. Étant donné un corps commutatif K, on définit, pour tout monoïde M, l' algèbre K[M] du monoïde M sur K de la façon suivante : on définit l'espace vectoriel K[M] à l'aide d'une base (us), dite canonique, où l'ensemble d'indices est M ; puis on prend pour table de multiplication de cette base usut = ust, quels que soient s et t dans M ; on vérifie qu'on a bien défini ainsi une algèbre associative dont l'élément unité est ue. Tout élément x ∈ K[M] s'écrit d'une seule manière :
Remarquons maintenant que, si l'on ne fait aucune hypothèse sur les familles (ξs) et (ηs), le second membre de (2) a encore un sens si le monoïde M satisfait à la condition :
(D) Pour tout s ∈ M, il n'existe qu'un nombre fini de couples (v, w) d'éléments de M tels que vw = s.
Par exemple, les monoïdes N et N* définis ci-dessus vérifient (D). Pour un tel monoïde, on définit donc sur l'espace vectoriel K[[M]] de toutes les familles (ξs), s ∈ M, une structure d'algèbre par les formules (1) et (2) ; on dit que cette algèbre est l'algèbre large du monoïde M.
Lorsque M = N, K[[N]] n'est autre que l'algèbre des séries formelles à une indéterminée : si l'on pose u1 = X, on a un = Xn pour tout entier n ≥ 1 ; au lieu d'écrire (ξn), n ∈ N, les éléments de cette algèbre, on convient de les noter :
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Écrit par
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
Classification
Pour citer cet article
Jean DIEUDONNÉ. NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Média
Figure
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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PRIX ABEL 2016
- Écrit par Yves GAUTIER
- 1 168 mots
- 2 médias
Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables,...
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ARITHMÉTIQUES (Diophante)
- Écrit par Bernard PIRE
- 188 mots
Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...
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ARTIN EMIL (1898-1962)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 1 319 mots
La part la plus importante de l'œuvre d'Artin concerne l'étude des corps de nombres algébriques etl'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui... -
BAKER ALAN (1939-2018)
- Écrit par Bernard PIRE
- 338 mots
Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en...
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Voir aussi
- SÉRIES FORMELLES
- MONOÏDE
- ALGÈBRES
- CAUCHY FORMULE DE
- CARACTÈRE, mathématiques
- IDÉAUX CLASSES D'
- GOLDBACH CONJECTURES DE
- MULTIPLICATIVE FONCTION
- MÖBIUS FONCTION DE
- NOMBRES GÉOMÉTRIE DES
- L FONCTIONS
- NOMBRES THÉORIE ANALYTIQUE DES
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- CORPS QUADRATIQUE
- NOMBRES PREMIERS THEORÈME DES
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- VALEUR MOYENNE, mathématiques
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- DISCRIMINANT D'UN CORPS
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- SOMMATION, mathématiques
- ARITHMÉTIQUE FONCTION
