Analyse mathématique
4356ALGORITHME DE TRANSFORMÉE DE FOURIER RAPIDE (J. W. Cooley et J. W. Tukey)
La publication en 1965, dans le journal Mathematics of Computation de la Société américaine de mathématiques (AMS), de l’« Algorithme de transformée de Fourier rapide » par les mathématiciens américains James William Cooley (1926-2016) et John Wilder Tuckey (1915-2000) révolutionne l’automatisation des calculs physico-mathématiques liés à l’étude de systèmes […] Lire la suite
ANALYSE MATHÉMATIQUE
L'analyse mathématique est le développement des notions et résultats fondamentaux du calcul infinitésimal. Ce dernier s'était déjà considérablement enrichi et diversifié entre les mains des mathématiciens du xviiie siècle, avant tout Euler et Lagrange. À partir de 1800, cette diversification s'accentue enco […] Lire la suite
ASYMPTOTIQUES CALCULS
Il est difficile de définir avec précision ce que l'on appelle méthodes asymptotiques en analyse mathématique. Ainsi, lors de l'étude d'une suite ou d'une fonction dont la nature est compliquée, certaines questions ne nécessitent que des renseignements d'ordre qualitatif tels que f (x) […] Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables
Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d'un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu'au début du xxe siècle.Ce n'est qu'aux environs de 1930 que sont abordés les problèmes difficiles de cette branche de l'analy […] Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable
Créée au xviie siècle par Newton, Leibniz et leurs prédécesseurs immédiats, transformée au xviiie, par Euler, en un prodigieux instrument de calcul, débarrassée, sous la Restauration, de sa métaphysique par le baron Cauchy, l'analyse infinitésimale a, depuis longtemps, atteint un degré de perfection tel q […] Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
L'expression « calcul infinitésimal » désigne habituellement l'ensemble des notations et des méthodes fondamentales du calcul différentiel, du calcul intégral et du calcul des variations, tel qu'il a été mis au point au cours des xviie et xviiie siècles, instrument merveilleux qui ouvrit aux mathématiques […] Lire la suite
COMPACITÉ, mathématique
La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté nécessaire aux infiniment petits du […] Lire la suite
CONNEXITÉ, mathématique
L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si I est un segment. Mais la plus importan […] Lire la suite
CONTINUITÉ, mathématique
L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie axiomatique des espaces topol […] Lire la suite
CONVEXITÉ - Ensembles convexes
Contrairement à ce qui précède, les espaces considérés ici sont quelconques, et non nécessairement de dimension finie.La convexité intervient de manière essentielle dans les espaces vectoriels de l'analyse : espaces vectoriels normés, ou plus généralement espaces vectoriels topologiques localement convexes, c'est-à-dire où tout point a un s […] Lire la suite
CONVEXITÉ - Fonctions convexes
L'étude des fonctions convexes a permis de fournir un cadre dans lequel peut se résoudre toute une classe de problèmes d'analyse fonctionnelle non linéaire ; les problèmes ainsi abordés sont des questions d'optimisation provenant de divers domaines : la mécanique, l'économie, les équations aux dérivées partielles, l'analyse numérique. Compte tenu d […] Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique
Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « améliorer » l […] Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires
L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des événements que les équations linéaires ne peuvent […] Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications
On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques.Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, c […] Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire
Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous allons […] Lire la suite
DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS
Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions déjà connues, très vite ce point de vue s'affirma trop étroit ; c'est qu' […] Lire la suite
DISSERTATIONS (B. Riemann)
La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl Friedrich Gauss, Riemann […] Lire la suite
DISTRIBUTIONS, mathématiques
Il est arrivé à plusieurs reprises que certaines exigences de la physique, par exemple, aient conduit les utilisateurs des mathématiques à des « calculs » non rigoureusement justifiables au moyen des concepts mathématiques existants, mais qui traduisaient avec succès la réalité expérimentale. C'est ainsi que l'ingénieur Heaviside introduisit dans l'étude des réseaux électriques (en 1894) les règle […] Lire la suite
ÉQUATION, mathématique
Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme A = B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, une équation conduit à un problème, qui consiste à […] Lire la suite
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)
Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f(x, y, z) où les coordonnées x, y et z correspondent à tous les points de l’espace occupés par le mobile traç […] Lire la suite
ERGODIQUE THÉORIE
Ergodique vient du mot grec ἔργον qui signifie travail. C'est en effet d'un problème de mécanique que la théorie ergodique est issue. À l'origine se trouve une hypothèse de la théorie cinétique des gaz, audacieusement posée par L. Boltzmann en 1885, qui permettait aux physiciens de résoudre une difficulté liée à l'étude des systèmes mécaniques à un très grand no […] Lire la suite
EXPONENTIELLE & LOGARITHME
Pour les constructeurs des premières tables, les logarithmes étaient avant tout un outil de calcul numérique ; mais leur importance n'a cessé de croître. Il suffira de feuilleter cette encyclopédie pour constater que, de nos jours, les logarithmes et les exponentielles interviennent dans tous les domaines de l'activité humaine, qu'il s'agisse de physiqu […] Lire la suite
FONCTION, mathématiques
Depuis l'introduction en mathématique du mot « fonction » et de la notation y = f (x) par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1692, à propos de parties de droites dépendant d'un point variable sur une courbe, cette notion, déjà présente implicitement dans la pensée de mathématiciens du […] Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans l'histoire de l' […] Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes
La notion de fonction holomorphe de plusieurs variables complexes est aussi ancienne que l'analyse complexe. Les problèmes les plus simples, qui font intervenir des relations algébriques ou analytiques ou des équations différentielles, introduisent nécessairement ces fonctions. Mais, à part quelques faits élémentaires, pendant très longtemp […] Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe
On se propose, dans ce premier article, d'exposer, avec des démonstrations quasiment complètes, les résultats les plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe ; les deux derniers chapitres sont consacrés à quelques résultats sans démonstration. Historiquement, l'extension au cas complexe de nombreuses fonctions classiques a été réalisée par l'intermédiaire des […] Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire
Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xixe siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la […] Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme
La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection de Mercator (xvie siècle). Au début du […] Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Vue d'ensemble
Depuis l'Antiquité, on connaît en substance la série géométrique suivante :Une des grandes découvertes qui jalonnèrent la formation du calcul infinitésimal au milieu du xviie siècle fut la possibilité de représenter les fonctions « usuelles » (logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques, etc.) par des développements e […] Lire la suite
FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
Il arrive très souvent que, dans les problèmes issus des mathématiques ou des autres sciences, les fonctions qui interviennent soient définies par des procédés qui ne permettent pas d'étudier de manière efficace leurs propriétés. C'est le cas des fonctions définies comme solutions d'équations fonctionnelles, d'équations différentielles ou i […] Lire la suite
GAMMA FONCTION
Introduites pour la première fois comme nouvelles transcendantes par L. Euler, la fonction gamma et la fonction bêta, qui s'y ramène, sont les plus importantes « fonctions spéciales » étudiées, au fur et à mesure des besoins, depuis le xviiie siècle. C'est ainsi que la fonction gamma intervient dans de nombreuses estimations asymptotiques des « grands […] Lire la suite
GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE
L'histoire des courbes planes est intimement liée à l'histoire et aux développements du calcul infinitésimal, et les premiers résultats obtenus au xviie siècle sont directement issus de considérations géométriques et cinématiques (cf. calcul infinitésimal – Histoire). Les courbes dans l'espace à trois dimensions (dites à « doub […] Lire la suite
HARMONIQUE ANALYSE
Lorsqu'on fait vibrer, dans des conditions idéales, une corde de longueur l, fixée en ses extrémités d'abscisses 0 et l, l'équation aux dérivées partielles :est vérifiée, où u(x, t) est une fonction dont la valeur représente, à l'instant t, le déplacement transversal, par rapport […] Lire la suite
HILBERT ESPACE DE
La théorie des espaces hilbertiens trouve son origine dans celle des développements de fonctions arbitraires en séries de fonctions orthogonales, lesquelles apparaissent le plus souvent comme fonctions propres de certains opérateurs différentiels linéaires (séries de Fourier, fonctions sphériques, théorie des oscillations de Sturm-Liouville). À l'occasion de l'étude des […] Lire la suite
INTÉGRALES ÉQUATIONS
Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans l'étude des oscillations d'une corde tendue (cf. analyse mathématique, chap. 6). Après l'introduction du noyau de Green, il fallut attendre les dernières années du xixe siècle, avec les travaux de H. A. Schwarz, de H. Poincaré, de V. Volterra […] Lire la suite
INTÉGRATION ET MESURE
La théorie de l'intégration joue en mathématique un rôle extrêmement important. C'est une théorie riche et complexe. Il ne sera pas question ici d'en donner une description exhaustive ni d'en aborder les assez redoutables aspects techniques. On s'efforcera de mettre en lumière les grandes idées simples qui y sont à l'œuvre et de montrer comment elles li […] Lire la suite
INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM (L. Euler)
C'est à l'Académie des sciences de Berlin que Leonhard Euler (1707-1783) publie en 1748 le premier des trois grands traités didactiques où il expose sa conception du calcul différentiel et intégral. L'Introductio in analysin infinitorum met au premier plan le concept de fonction défini comme « une expression analytique composée d'u […] Lire la suite
LE CALCUL DES FLUXIONS (I. Newton)
En octobre 1666, Isaac Newton (1642-1727) écrit Le Calcul des fluxions qui, sans être immédiatement publié, sera déterminant pour le développement du calcul différentiel. Il y définit le concept de fluxions. Newton décrit une particule parcourant une courbe à l'aide de deux quantités : la vitesse horizontale x' et […] Lire la suite
LEIBNIZ : CALCUL DIFFÉRENTIEL
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) publie en 1684 les détails de son calcul différentiel dans son traité Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus. Il y reprend ses découvertes antérieures. Il avait introduit la notation moderne d'une intégrale dès 1675, calculé les dérivées des fonctions usuelles en 1 […] Lire la suite
LIMITE (mathématique)
La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de […] Lire la suite
LIMITE NOTION DE
La notion de limite fait son apparition dans un ouvrage du mathématicien anglais B. Robins intitulé A Discourse Concerning the Nature and Certainty of Sir Isaac Newton's Method of Fluxions and Prime and Ultimate Ratios (1735) ; c'est une réponse aux critiques formulées par le philosophe G. Berkeley à l'encontre du calcul infinitésimal dans son célèbre pamphlet Th […] Lire la suite
MESURE, mathématique
Mesurer les objets concrets mathématisables fut l'un des premiers actes scientifiques conscients : il est d'usage de citer la redistribution, à des fins fiscales, des terres émergées après une crue du Nil, dans l'Égypte antique. Le premier niveau consiste à calculer des longueurs, d'abord d'intervalles de droites, puis de courbes comme le cercle. Le second a pour objet d'obteni […] Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques
On peut développer une théorie des fonctions analytiques de variables p-adiques en définissant de telles fonctions par des développements en séries entières convergentes (cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe).Par exemple, la série exponentielle :converge dans le « disque ouvert » de Q […] Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique
Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici presque exclusivement de problèmes particuliers qui […] Lire la suite
NORMÉES ALGÈBRES
Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique. Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. […] Lire la suite
NORMÉS ESPACES VECTORIELS
L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xxe siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, ainsi que des […] Lire la suite
NOTATION MATHÉMATIQUE
L'emploi mathématique du terme de fonction date de la correspondance de Leibniz avec Johann Bernoulli. Les auteurs sont conscients du fait que, parmi quelques variables, l'une peut être une fonction de l'autre et ils rendent, s'il est possible, cette dépendance explicite ; mais des signes de fonction y sont très rares (Johann Bernoulli, 1718 : ϕx, ϕ fonction de x […] Lire la suite
ONDELETTES
Qu'y a-t-il de commun entre le stockage numérique des empreintes digitales effectué par le F.B.I., la compression des images pour la télévision haute définition et le téléphone vidéo, le stockage ou la transmission de résultats de mesures sismiques, l'analyse des grandes structures galactiques, la modélisation des cascades d'énergie dans des écoulements hydrodynamiques fortement turbulents, ou enc […] Lire la suite
OPTIMISATION & CONTRÔLE
L'avènement du calcul différentiel, au xviie siècle, a permis de caractériser le minimum d'une fonction f par l'équation f′(x) = 0. On résolvait ainsi d'un coup une foule de problèmes pratiques, tout en soulevant de grandes questions théoriques : peut-on affirmer a priori l'existence d'un min […] Lire la suite
ORTHOGONAUX POLYNÔMES
C'est à travers l'étude de certains problèmes d'analyse fonctionnelle (équations intégrales, séries de Fourier, problème de Sturm-Liouville et, plus généralement, problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles) qu'est apparue la notion de système orthogonal de fonctions. Ces problèmes amènent à considérer des espaces hermitiens constitués de fonctions et à déterminer les valeurs […] Lire la suite
POTENTIEL THÉORIE DU
La théorie du potentiel, directement issue de l'électrostatique, est une source d'inspiration extrêmement riche en analyse. Si, au début du xixe siècle, on connaissait déjà l'équation de Laplace, la fonction de Green et l'intégrale de Poisson dans la boule, ce n'est vraiment qu'avec C. F. Gauss (1840) que sont posés et résolus, bien qu'imparfaitement, […] Lire la suite
RÉELS NOMBRES
Le langage des proportions, qui fait intervenir quatre éléments ou grandeurs, n'est guère propice à l'idée fonctionnelle, c'est-à-dire à la correspondance entre un élément et un autre. Aussi, en dehors des tables numériques à deux entrées, constate-t-on l'absence de représentations graphiques des variations de phénomène physique. Si l'on connaît un manuscr […] Lire la suite
SÉRIES ET PRODUITS INFINIS
La notion de limite d'une suite est à la base de l'analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s'est imposé dès le xviie siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la théorie des séries, reposant sur une définition des limit […] Lire la suite
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Les séries trigonométriques se sont introduites au xviiie et au début du xixe siècle, en liaison avec certains problèmes de physique (mouvement des cordes vibrantes, propagation de la chaleur). Elles sont d'un usage courant en astronomie, en cristallographie, en optique. Mais c'est en mathématiques qu'ell […] Lire la suite
SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE
« Toute courbe elliptique sur ℚ est modulaire » : la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est devenue un théorème en 1999, mais l'appellation initiale est demeurée. Sa démonstration est due au mathématicien anglais Andrew Wiles et à ses continuateurs (cf. bibliographie : Wiles [1995] ; Taylor et Wiles [1995] ; Diamond [1996] ; Conrad, Diamond et Taylor [1999] ; et Breuil, Conrad, Diamond et Taylor […] Lire la suite
SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications
De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de rang maxi […] Lire la suite
SPECTRALE THÉORIE
L'objet de la théorie spectrale est d'obtenir, pour certains endomorphismes d'un espace hilbertien, des formes réduites analogues aux formes canoniques de Jordan pour les endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie et aux formes diagonales pour les endomorphismes hermitiens d'un espace vectoriel hermitien de dimension finie. La théorie des applications de Hilbert-Schmidt, rencontrées p […] Lire la suite
SYMBOLIQUE CALCUL
Le calcul symbolique est né au xixe siècle d'une succession de démarches heuristiques et il a été particulièrement développé par Heaviside pour l'étude des circuits électriques.Si l'on désigne par p la dérivation, p2 désignera naturellement la double dérivation, 1/p l'i […] Lire la suite
THÉORÈMES DES INTÉGRALES DE CAUCHY
L’élaboration des méthodes qui aboutiront au théorème intégral de Cauchy dans l’analyse complexe s’étend sur plusieurs années. L’étude des fonctions d’une variable complexe a en effet occupé Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) pendant toute sa jeunesse, et il a développé sa théorie des fonctions holomorphes dans plusieurs articles publiés entre 1 […] Lire la suite
THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (J. Fourier)
Joseph Fourier (1768-1830) a entrepris son étude de la propagation de la chaleur dès 1804 alors qu'il occupait le poste de préfet de l'Isère après avoir brièvement enseigné à l’École polytechnique puis suivi le corps expéditionnaire français en Égypte et y avoir été nommé administrateur civil en 1799. Publiés en […] Lire la suite
THÉORIE DES DISTRIBUTIONS (L. Schwartz)
Professeur à l'université de Nancy, Laurent Schwartz (1915-2002) fonde la théorie mathématique des distributions dans un article intitulé « Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques ». Il donne une interprétation unifiée […] Lire la suite
TRAITÉ DE CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL
Le mathématicien français Joseph Bertrand, après avoir été un étudiant très précoce – il a soutenu sa thèse à l'âge de dix-sept ans – et publié de nombreux travaux en théorie des nombres et en théorie des groupes, est devenu en 1862 professeur d'analyse au Collège de France. Il rédige de nombreux livres destinés à des lycéens puis s'engage dans la rédaction d'un cours en trois volumes, le […] Lire la suite
VARIATIONS CALCUL DES
L'étude d'une fonction à valeurs réelles comporte en particulier la détermination de ses extrémums. C'est là un des objets du calcul différentiel classique lorsque la source de cette fonction est un espace numérique ; c'est l'objet de ce qu'Euler a appelé le calcul des variations lorsque cette source est un espace fonctionnel.On rencontre déjà dans la plus haute antiquité des p […] Lire la suite
VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B. Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde ; elle fut longuement développée par les géomètres du xix […] Lire la suite
ZÊTA FONCTION
Issues d'un calcul formel d'Euler, la « fonction zêta » de Riemann et les « fonctions L » de Dirichlet ont été jusqu'ici les outils analytiques les plus puissants pour étudier la répartition et les propriétés des nombres premiers (cf. théorie desnombres - Théorie analytique des nombres). Mais ces fonctions sont elles-mêmes devenues l'objet d'études analytiques poussées, en […] Lire la suite
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Développements asymptotiques.
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Propagation des solutions et domaine de dépendance pour l'équation des cordes vibrantes : les pentes des droites obliques sont ± 1/c.
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Solution encadrée par deux ondes
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Une solution quelconque encadrée par deux ondes solitaires.
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Régions invariantes pour les équations de Fitzugh-Nagumo. R est le grand rectangle attracteur et R (orange) est le bassin d'attraction de zéro.
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fig. 1 – Application de la méthode des éléments finis au calcul d'une centrale souterraine (d'après O. C. Zienkiewiecz, « Finite Elements Method », McGraw-Hill).
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Calcul de u6
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Sur cette figure, on a représenté, pour t > 1, la solution exacte de l'équation de Burger qui, pour t = 0, est la marche u(x, 0) = 1 si x < 0 et u(x, 0) = 0 si x > 0, qui se propage à la vitesse 1/2. On a représenté les approximations obtenues par le schéma de Lax-Friedrich,...
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Les deux formes du problème de Riemann pour l'équation
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Le schéma de Glimm et la dérivation du problème de Friedrichs. Les régions bleues sont celles où l'on raccorde la solution des différents problèmes de Riemann. Les éventails représentent les régions où les solutions évoluent selon les droites x – ih = ?t. On a représenté...
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Interprétation géométrique du logarithme népérien
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Graphe de la fonction y = Log x
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Graphe de la fonction exponentielle
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Graphes des fonctions hyperboliques
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Graphes des fonctions puissances
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Définition des fonctions trigonométriques
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Graphes des fonctions sinus et cosinus
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Fonction tangente et sa réciproque
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Graphe de la fonction tangente y = tg x, - p/2 < x < + p/2 et de sa fonction réciproque
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Graphe de f pour
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Graphe de f pour
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Graphe d'une fonction à oscillation rapide.
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Interpolations linéaire et parabolique
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Interpolations linéaire et parabolique de f(x) = 1/1 + 4x2 sur [0, 1].
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Cette figure concerne l'interpolation des fonctions f :
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Polynômes de Tchebychev
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Primitive d'une fonction analytique
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Démonstration du théorème de Cauchy
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Indice d'un point par rapport à un lacet
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Indice d'un point par rapport à un lacet
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Développement en série de Laurent
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Calcul à partir de la formule des résidus
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Calcul de $ATT$
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Prolongement analytique de la détermination principale du logarithme complexe
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Surface de Riemann du logarithme complexe au-dessus de
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Conservation des angles
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Représentation z ↦ z2.
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Représentation z ↦ z1/2.
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Représentation z ↦1/ z.
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Représentation z ↦ez.
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Représentation z ↦1/z (z +(1/z))
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Représentation z ↦1/z (z +(1/z)).
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Représentation z ↦ cos z.
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Projection stéréographique
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Les deux feuillets de la surface de Riemann de
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Domaine fondamental du groupe modulaire
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Jets d'une fonction quadratique d'une variable
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Jets d'une fonction quadratique d'une variable, de la forme f(x) = a + bx2.
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Caractère universel d'une famille transverse
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Caractère universel d'une famille transverse.
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Stabilité d'une famille transverse
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Stabilité d'une famille transverse.
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Construction de l'application DA(e)
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Construction de l'application DA(e).
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Exemple d'orbite de codimention 1 de Ca (N, R) formée de fonctions de Morse ayant deux valeurs critiques égales.
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Déformation continue d'un germe
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Problèmes liés à la définition d'une déformation continue d'un germe.
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Théorème de déformation verselle
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Démonstration du théorème de déformation verselle.
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Exemple de point de non-transversalité.
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Déploiement universel de x vers x3
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Déploiement universel de x → x3.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
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Déploiement universel de x → x4 (cusp).
Crédits : Encyclopædia Universalis France
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Déploiement universel de x → x5 (queue d'aronde).
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Déploiement universel de l'ombilic elliptique
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Déploiement universel de l'ombilic elliptique.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique
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Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Déformation universelle d'un point épais
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Déformation universelle d'un point « épais » d'équation x3 = 0.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
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Germes d'applications stables de R2 dans R2 : pli en a, fronce en b.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
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Le théorème dit « The nice range ».
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Élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction
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Modèle géométrique d'élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
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Transformées de Laplace les plus usuelles.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Automatique : application de la transformation de Laplace
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Crédits : Encyclopædia Universalis France
Transformées en z de suites simples
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Quelques transformées en
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Condition de Weierstrass pour un minimum relatif fort
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Cartes de la sphère S2
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Construction d'un cylindre et d'une bande de Möbius par recollement d'une bande de papier
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Propriétés d'une courbe de longueur minimum
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Géométrie de la sphère de Riemann
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Géométrie de Lobatchevski
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Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)
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Variation d'un vecteur par transport parallèle le long d'une courbe fermée : cas de la sphère de Riemann.
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Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)
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Variation d'un vecteur par transport parallèle le long d'une courbe fermée : cas du demi-plan de Lobatchevski.
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Image graphique des dérivées et des intégrales. La dérivée d'une fonction f(x) est une autre fonction f'(x) qui détermine l'inclinaison ou pente de la droite tangente à la courbe pour toute valeur de x. L'intégrale simple d'une fonction f(x) définie...
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Développements asymptotiques
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Fonction étagée
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Fonction réglée
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Intervalles
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Accroissements finis
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Théorème de Rolle
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Valeurs intermédiaires
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Hyperplan
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Ensembles convexe et non convexe
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Empilements
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Graphe d'intersection
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Polyèdre de dimension 2
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Polytope de dimension 3
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Coefficient directeur d'une droite
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Équation des formes vibrantes
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Solution encadrée par deux ondes
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Équations de Fitzugh-Nagumo
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Méthode des éléments finis
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Instabilité
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Équation de Burger
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Problème de Riemann
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Schéma de Glimm
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Distribution de Dirac
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Logarithme népérien
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Fonction y = Log x
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Fonction exponentielle
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Fonctions hyperboliques
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Fonctions puissances
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Fonctions trigonométrique
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Fonctions sinus et cosinus
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Fonction tangente et sa réciproque
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Graphe de f pour
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Graphe de f pour
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Fonction à oscillation rapide
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Interpolations linéaire et parabolique
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Interpolation de fonctions
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Polynôme de Tchebychev
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Connexité
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Primitive
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Théorème de Cauchy
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Symétrie : principe
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Indice d'un point par rapport à un lacet
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Série de Laurent
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Calcul à partir de la formule des résidus
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Logarithme complexe
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Surface de Riemann
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Conservation des angles
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Représentation z ↦ z2
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Représentation z ↦ z1/2
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Représentation z ↦1/ z
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Représentation z ↦ez
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Représentation z ↦1/z (z +(1/z))
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Représentation z ↦ cos z
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Projection stéréographique
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Surface de genre 2
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Surface de Riemann
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Domaine du groupe modulaire
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Graphe
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Formule de Hankel
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Figure
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Problème de Dirichlet : solution
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Convexifiée
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Mouvement d'une corde
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Jets d'une fonction quadratique d'une variable
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Caractère universel d'une famille transverse
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Stabilité d'une famille transverse
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Construction de l'application DA(e)
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Orbite de codimension 1
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Déformation continue d'un germe
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Théorème de déformation verselle
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Point de non-transversalité
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Déploiement universel de x vers x3
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Cusp
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Queue d'aronde
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Déploiement universel de l'ombilic elliptique
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Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique
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Déformation universelle d'un point épais
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Fibration de Milnor
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Pli et fronce
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Théorème du nice range
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Élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction
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Transformées de Laplace
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Automatique : application de la transformation de Laplace
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Transformées en z de suites simples
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Condition de Weierstrass
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Carte de la sphère S2
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Cylindre et bande de Möbius
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Courbe de longueur minimum
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Sphère de Riemann
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Géométrie de Lobatchevski
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Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)
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Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)
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Dérivées et intégrales
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