NOMBRES (THÉORIE DES) Théorie analytique
Valeurs moyennes de fonctions arithmétiques
L'irrégularité des fonctions arithmétiques
Les fonctions définies dans l'ensemble des entiers > 0 par des conditions de nature arithmétique, telles les fonctions multiplicatives qu'on a étudiées plus haut (cf. chap. 2, Le point de vue formel), ont une allure en général très irrégulière. Par exemple, la fonction d(n) est égale à 2 pour n premier, mais elle est très grande pour les nombres de la forme m ! ; on peut montrer par des procédés élémentaires (n'utilisant pas le théorème des nombres premiers) que l'on a :
Pour σ1(n), l'irrégularité est moins prononcée ; on a σ1(n) = n + 1 si n est premier, et on montre (à l'aide du théorème des nombres premiers) que :
Une fonction arithmétique très étudiée, mais sur laquelle on sait encore peu de chose, est la différence pn+1 − pn entre deux nombres premiers consécutifs. On conjecture qu'il y a une infinité de valeurs de n pour lesquelles pn+1 − pn = 2 (nombres premiers « jumeaux ») et que le nombre des pn ≤ x ayant cette propriété est asymptotiquement égal à Cx/(ln x)2, avec :
Moyennes des fonctions arithmétiques
On espère en général que, lorsqu'une fonction f définie pour les entiers > 0 a une allure irrégulière, la fonction F(m) = f (1) + f (2) + ... + f (m), égale à m fois la « valeur moyenne » de f dans l'intervalle 1 ≤ n ≤ m, se comportera de façon plus satisfaisante ; c'est ce qui se passe pour la plupart des fonctions arithmétiques. Le théorème des nombres premiers en est un exemple : de façon générale, si P est une partie de N et si l'on prend pour f la fonction caractéristique de P, la fonction correspondante m ↦ F(m)/m est ce qu'on appelle la densité de P dans l'intervalle [1, m] ; le théorème des nombres premiers dit que, pour l'ensemble P des nombres premiers, cette « densité » a une partie principale 1/ln m.
Pour certaines fonctions considérées supra (cf. Le point de vue formel, in chap. 2), on peut effectivement obtenir des parties principales de leurs « moyennes » de façon élémentaire ; par exemple, on a :
À l'aide du théorème des nombres premiers, on établit :
Le premier membre de (67) admet une interprétation géométrique intéressante : c'est le nombre des points (r, s) du réseau Z2 dans le plan qui appartiennent à la région du plan formée des points (u, v) vérifiant u ≥ 1/2, v ≥ 1/2 et uv ≤ x. Cette interprétation suggère aussitôt que la partie principale de ce nombre est l'aire de la région précédente et conduit à améliorer la majoration du terme complémentaire. D'une façon générale, considérons dans le plan la région G définie par s ≤ u ≤ w, q ≤ v ≤ f (u), où s − 1/2, w − 1/2 et q − 1/2 sont entiers ; f est supposée deux fois continûment différentiable, sa dérivée étant > 0 dans[s, w], et sa dérivée seconde ne s'annulant pas dans cet intervalle.
Soit I(G) le nombre de points[...]
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Écrit par
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
Classification
Pour citer cet article
Jean DIEUDONNÉ. NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Média
Figure
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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PRIX ABEL 2016
- Écrit par Yves GAUTIER
- 1 168 mots
- 2 médias
Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables,...
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ARITHMÉTIQUES (Diophante)
- Écrit par Bernard PIRE
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Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...
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ARTIN EMIL (1898-1962)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
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La part la plus importante de l'œuvre d'Artin concerne l'étude des corps de nombres algébriques etl'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui... -
BAKER ALAN (1939-2018)
- Écrit par Bernard PIRE
- 338 mots
Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en...
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Voir aussi
- SÉRIES FORMELLES
- MONOÏDE
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- CARACTÈRE, mathématiques
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