ASYMPTOTIQUES CALCULS

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Il est difficile de définir avec précision ce que l'on appelle méthodes asymptotiques en analyse mathématique. Ainsi, lors de l'étude d'une suite ou d'une fonction dont la nature est compliquée, certaines questions ne nécessitent que des renseignements d'ordre qualitatif tels que f (x) → 0 ou f (x) → + ∞ pour x → + ∞. D'autres exigent un contrôle quantitatif très précis, défini par des inégalités explicites. Les comportements asymptotiques relèvent d'une préoccupation intermédiaire : dans de nombreux problèmes, on remplace la quantité étudiée par une autre plus simple sans que, « à la limite », le résultat soit modifié. Par exemple, la relation

suffit à établir la convergence à l'infini de l'intégrale de f. Les exemples qui suivent montreront la nature de ces préoccupations.

Du point de vue strictement technique, les méthodes asymptotiques sont extrêmement variées et, en dehors de quelques résultats relativement généraux, chaque cas particulier exerce l'ingéniosité de celui qui l'étudie. Nous nous limiterons, dans les chapitres 2 et 3, à l'exposé de quelques-unes de ces méthodes.

Comparaison de la croissance des fonctions

L'étude de la manière dont des quantités tendent vers l'infini ou tendent vers zéro a constitué, à la naissance du calcul infinitésimal, au xviie siècle, la théorie des « infiniment grands » et de leurs inverses, les « infiniment petits », et a fait l'objet de polémiques passionnées, souvent paramathématiques. En effet, l'absence d'une conception précise de la notion de limite (problème qui ne fut pas abordé sous forme rigoureuse) rendait mystérieuse la nature de ces quantités qui, tout en étant comparables entre elles, n'étaient pas comparables aux nombres ou aux fonctions. De plus, cela représentait l'intrusion de l'infini dans les calculs et, bien que cet infini fût potentiel et non actuel (en ce sens que l'infini n'était pas considéré en lui-même comme un être mathématique soumis à des règles opératoires préc [...]

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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NUMÉRIQUE ANALYSE

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT, 
  • Jean-Luc VERLEY
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Dans le chapitre « Généralisations »  : […] On suppose que a ( n ) −  a admet un développement asymptotique de la forme : on notera que le cas où r n admet un développement asymptotique de la forme : se ramène au précédent en introduisant la suite ( a ′( n )) de terme général […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-numerique/#i_33324

STIRLING JAMES (1692-1770)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 376 mots

Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de Stirling le Vénitien. Il y découvrit les secrets de fabrication des verriers et publia ultérieurement […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/stirling-james-1692-1770/#i_33324

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/