ASYMPTOTIQUES CALCULS

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Il est difficile de définir avec précision ce que l'on appelle méthodes asymptotiques en analyse mathématique. Ainsi, lors de l'étude d'une suite ou d'une fonction dont la nature est compliquée, certaines questions ne nécessitent que des renseignements d'ordre qualitatif tels que f (x) → 0 ou f (x) → + ∞ pour x → + ∞. D'autres exigent un contrôle quantitatif très précis, défini par des inégalités explicites. Les comportements asymptotiques relèvent d'une préoccupation intermédiaire : dans de nombreux problèmes, on remplace la quantité étudiée par une autre plus simple sans que, « à la limite », le résultat soit modifié. Par exemple, la relation

suffit à établir la convergence à l'infini de l'intégrale de f. Les exemples qui suivent montreront la nature de ces préoccupations.

Du point de vue strictement technique, les méthodes asymptotiques sont extrêmement variées et, en dehors de quelques résultats relativement généraux, chaque cas particulier exerce l'ingéniosité de celui qui l'étudie. Nous nous limiterons, dans les chapitres 2 et 3, à l'exposé de quelques-unes de ces méthodes.

Comparaison de la croissance des fonctions

L'étude de la manière dont des quantités tendent vers l'infini ou tendent vers zéro a constitué, à la naissance du calcul infinitésimal, au xviie siècle, la théorie des « infiniment grands » et de leurs inverses, les « infiniment petits », et a fait l'objet de polémiques passionnées, souvent paramathématiques. En effet, l'absence d'une conception précise de la notion de limite (problème qui ne fut pas abordé sous forme rigoureuse) rendait mystérieuse la nature de ces quantités qui, tout en étant comparables entre elles, n'étaient pas comparables aux nombres ou aux fonctions. De plus, cela représentait l'intrusion de l'infini dans les calculs et, bien que cet infini fût potentiel et non actuel (en ce sens que l'infini n'était pas considéré en lui-même comme un être mathématique soumis à des règles opératoires précises), cela suscitait des problèmes philosophiques aux mathématiciens, échaudés par les nombreux « paradoxes de l'infini » qui n'étaient pas encore clairement analysés. La recherche des « vraies valeurs » des formes indéterminées, rencontrées dans le calcul des dérivées par exemple, allait cependant montrer l'importance de ces notions et les justifier, tout au moins empiriquement, aux yeux des mathématiciens. Ces questions ont été systématiquement élucidées par Paul Du Bois-Reymond, qui, dans une série d'articles de 1870-1871, a posé les fondements du calcul des infiniment grands (Infinitär-calcul) en mettant en évidence l'importance de la notion d'échelle de comparaison ; il a étudié également en détail l'intégration et la dérivation des relations de comparaison. Tous ces résultats ont trouvé leur forme rigoureuse et définitive dans les travaux de Hardy.

Relations de comparaison

Dans de nombreuses questions d'analyse, on est conduit à étudier l'« ordre de grandeur » d'une fonction f (n) d'une variable entière positive pour n grand, ou d'une fonction f (x) d'une variable continue x lorsque x est grand, ou voisin d'une valeur a. Formulons le problème de manière précise, en nous limitant au cas d'une variable continue pour fixer les idées.

Soit f une fonction, à valeurs réelles ou complexes, définie pour a − h < x a ou a < x < a + h (on dira alors que f est définie dans un voisinage à gauche ou à droite de a) ou pour x assez grand (on dira que f est définie au voisinage de l'infini). Par exemple, l'application :

transforme les voisinages à droite de a en les voisinages de l'infini et, par suite, on peut, en considérant la fonction :
ramener l'étude de f au voisinage de a (à droite) à l'étude d'une autre fonction au voisinage de l'infini ; nous nous limiterons à ce cas dans ce chapitre. Il est clair, d'autre part, que les notions ci-dessous s'étendent de manière évidente au cas où la variable ne prend que des valeurs entières. Nous nous proposons ici de montrer qu'il est possible de « comparer » les fonctions définies au voisinage de l'infini lorsque la variable tend vers l'infini.

Si f et g sont deux fonctions définies pour x assez grand et à valeurs non nulles, on dit que f et g sont asymptotiquement équivalentes pour x tendant vers l'infini, et on note :

au voisinage de l'infini si le rapport f (x)/g(x) tend vers 1 pour x tendant vers l'infini. Remarquons que cela n'entraîne même pas que la différence f (x) − g(x) soit bornée, comme le montre l'exemple des fonctions asymptotiquement équivalentes x2 + x et x2 au voisinage de l'infini. La recherche de fonctions équivalentes à des fonctions données et plus simples ou plus maniables est un problème essentiel (cf. Partie principale, in chap. 2) et qui peut être fort difficile ; ainsi, si π(x) désigne le nombre de nombres premiers ≤ x, la « loi de répartition des nombres premiers », conjecturée par Gauss, qui exprime que :
est un résultat profond de la théorie des nombres, qui n'a été démontré qu'en 1896 par Hadamard et de La Vallée-Poussin.

Nous allons maintenant préciser comment on peut comparer les croissances des fonctions pour x → ∞. On dit que f est asymptotiquement négligeable devant g, ou que g croît plus vite que f pour x tendant vers l'infini, si pour tout ε > 0, on a |f (x)| ≤ ε |g(x)| pour x assez grand ; on écrit alors :

Il est clair que la définition ci-dessus signifie que le rapport f (x)/g(x), s'il est défini pour x assez grand, tend vers 0. Remarquons que le symbole de Landau doit être considéré seulement comme une écriture commode mais ne représente pas une fonction déterminée croissant moins vite que g et ne doit donc pas être manipulé comme les nombres ou les fonctions ; ainsi écrire que o(g) + o(g) = o(g) exprime que la somme de deux fonctions négligeables devant g est négligeable devant g, mais cela n'aurait aucun sens d'en conclure que o(g) = 0 ! Pour une formulation mathématique satisfaisante, on pourrait convenir que o(g) désigne l'ensemble des fonctions négligeables devant g, qui est un espace vectoriel ; la notation f = o(g) est alors un abus de langage pour ∈ o(g).

La notation précédente permet de traduire maintenant facilement les résultats sur la « croissance comparée » des fonctions puissance, logarithme et exponentielle ; ainsi, pour a < b,

pour a quelconque et b > 0, on a :
c'est-à-dire les fonctions puissance croissent plus vite que les fonctions logarithme. Enfin, pour a quelconque, c > 0 et d > 0,
au voisinage de l'infini, c'est-à-dire les fonctions exponentielles croissent plus vite que les fonctions puissance.

Indiquons, pour terminer, une dernière notation fort utile. Dans de nombreux cas, on a besoin d'une relation de comparaison plus faible que la précédente, qui puisse s'appliquer à des fonctions dont la croissance n'est pas très régulière. S'il existe une constante M telle que |(x)| ≤ M |g(x)| pour x assez grand, on dit que f est dominée par g pour x tendant vers l'inf [...]

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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/