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NOMBRES (THÉORIE DES) Théorie analytique

La théorie multiplicative

Le point de vue formel

On a vu supra (cf. Le point de vue formel, in chap. 1) que le monoïde multiplicatif N * vérifie la condition (D), et qu'on peut donc définir son algèbre large sur un corps K ; on se bornera encore au cas où K = C, et on notera D cette algèbre large. On note ici n−ω l'élément un de la base canonique de C[N*], et cette fois, un élément f ∈ D se note :

et on dit que c'est une série formelle de Dirichlet. Le produit de deux éléments f et g de D se note aussi f * g et est défini par :
ce qui s'écrit encore :

Pour qu'une série formelle de Dirichlet :

ait un inverse dans D, il faut et il suffit que f (1) ≠ 0. L'ordre d'une série formelle de Dirichlet :
non nulle est encore défini comme le plus petit entier n tel que f(n) ≠ 0. On voit qu'on peut encore définir dans D la somme infinie (4) et le produit infini (5) lorsque l'ordre de f n tend vers + ∞ avec n. Si on convient d'écrire F(ω) une série formelle de Dirichlet :
on écrit alors F (ω + α), pour tout nombre complexe α, la série formelle de Dirichlet :
de même, on écrit F (kω), pour tout entier k, la série formelle de Dirichlet :
et F′(ω) la série formelle de Dirichlet :

La décomposition d'un entier en facteurs premiers exprime encore que le monoïde multiplicatif N* est « produit direct » d'une infinité de monoïdes isomorphes au monoïde additif N. Dans la théorie des séries formelles de Dirichlet, ce fait apparaît de la manière suivante. Rappelons qu'une fonction f définie dans N*, à valeurs complexes, est dite multiplicative si l'on a f(1) = 1 et f(mn) = f(m)f(n) pour deux entiers m et n premiers entre eux. On vérifie aisément que, si f et g sont multiplicatives, il en est de même de f * g et de l'inverse de f dans D. Lorsque f est multiplicative, on a la décomposition en produit infini (produit étendu à tous les nombres premiers p) de la série formelle de Dirichlet :

qui équivaut à la décomposition f(n) = f (p1k1) ... f (prkr) pour la décomposition de n en facteurs premiers n = p1k1 ... prkr.

Rappelons que la fonction constante i : n ↦ 1, la fonction de Möbius μ, la fonction d'Euler ϕ, la fonction n ↦ d(n), où d(n) est le nombre de diviseurs de n, et les fonctions n ↦ σα(n), où σα(n) est la somme des puissances α-ièmes des diviseurs de n, sont multiplicatives ; il en est de même de la fonction n ↦ 2ν(n), où ν(n) est le nombre des facteurs premiers distincts de n, de la fonction de Liouville n ↦ λ(n), définie par λ(n) = (− 1)k, où k est le nombre des facteurs premiers de n, comptés avec leur ordre de multiplicité ; enfin, la fonction de von Mangoldt n ↦ Λ(n) est aussi multiplicative, Λ(n) étant 0 si n n'est pas une puissance d'un nombre premier, égal à ln p si n = pm est une telle puissance.

À ces diverses fonctions multiplicatives correspondent des séries formelles de Dirichlet, en premier lieu la série zêta :

et on montre que les séries formelles de Dirichlet correspondant aux autres fonctions multiplicatives s'expriment à l'aide de la série zêta par :

Séries de Dirichlet

L'idée fondamentale de la théorie multiplicative est tout à fait analogue à celle de la théorie additive : si, dans une série formelle de Dirichlet :

on remplace le symbole n−ω par le nombre complexe n-s = exp (− s ln n), où s ∈ C, on obtient une série de nombres complexes, qui, si elle converge, a pour somme une fonction de s ; l'application de la théorie de Cauchy à cette fonction dans les régions du plan C où cette fonction est analytique donnera des informations sur les coefficients a(n) de la série.

On pose s = σ + it, où σ et t sont réels, pour tout nombre complexe s, de sorte que l'on a :[...]

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Pour citer cet article

Jean DIEUDONNÉ. NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

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Figure - crédits : Encyclopædia Universalis France

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Autres références

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par Yves GAUTIER
    • 1 168 mots
    • 2 médias

    Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables,...

  • ARITHMÉTIQUES (Diophante)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 188 mots

    Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...

  • ARTIN EMIL (1898-1962)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 1 319 mots
    La part la plus importante de l'œuvre d'Artin concerne l'étude des corps de nombres algébriques etl'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui...

  • BAKER ALAN (1939-2018)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 338 mots

    Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en...

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Voir aussi

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