DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

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La théorie de la stabilité

Pour la description mathématique de très nombreux systèmes physiques oscillatoires on est conduit à des équations ou systèmes différentiels dont il convient de rechercher les solutions stationnaires ou périodiques et d'étudier leurs propriétés de stabilité.

Un modèle relativement simple est fourni par l'équation :

∈ Rn, A matrice × n réelle et constante, (x) application continue de :
dans Rn, U étant un voisinage de l'origine, telle enfin que (0, ) = 0. Il est clair que x = 0 est solution de (45) ou, comme l'on dit, un point critique. Mais que peut-on dire d'une solution dont la valeur initiale x(0) est petite ? Sera-t-elle définie pour tout ≥ 0, et, dans l'affirmative, va-t-elle s'écarter notablement ou non de la solution d'équilibre x = 0. Cela amène à préciser le concept suivant de stabilité : une solution x(), du système dx/dt = F(x) définie pour tout ≥ t0 sera dite stable si, pour tout ε > 0, il existe δ = δ(ε, t0) > 0 tel que toute autre solution y() définie pour  t0 et vérifiant ∥y(t0) − x(t0)∥ ≤ δ satisfait à ∥y() − x()∥ ≤ ε pour  t0.

Si, de plus, y() − x() → 0 quand → + ∞, on dira que la solution x() est asymptotiquement stable.

On observera que, pour discuter la stabilité d'une solution x() d'un système quelconque dx/dt = F(x), on pourra toujours, par le changement x = x() + y, se ramener à l'étude de la stabilité d'une solution stationnaire d'un système différentiel, ce qui justifie l'importance de système du type (45).

Revenant à ce cas, on peut énoncer le théorème (Poincaré-Liapounoff) : Si les valeurs propres de la matrice A ont toutes leur partie réelle négative et si la fonction f (x) continue dans ∥x∥ ≤ ρ, ≥ 0 est telle que :

x = 0 est solution asymptotiquement stable de (45).

Si l'une au moins des valeurs propres de A est à partie réelle positive, la solution x = 0 est instable.

Le théorème de stabilité demeure vrai si la matrice A est une fonction continue périodique de t dont tous les coefficients caractéristiques sont à partie réelle négative.

Le problème fondamental [...]

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  • : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
  • : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie

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Pour citer l’article

Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU, « DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-differentielles/