Universalis

DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Le problème de Sturm-Liouville

Position du problème

Considérons l'équation différentielle linéaire d'ordre n :

où p0(t ), ..., pn(t ), r(t ) sont des fonctions continues de la variable réelle t dans l'intervalle t ∈ [a, b], et p0(t ) ≠ 0 pour t ∈ [a, b].

Imaginons un ensemble de m conditions aux limites du type :

où les αij, βij, γi sont des nombres donnés, les formes linéaires (24) étant supposées linéairement indépendantes par rapport aux 2 n variables u(a), u′(a), ..., u(n-1)(a), u(b), ..., u(n-1)(b), ce qui implique m ≤ 2n. On se propose de rechercher dans la classe des fonctions différentiables jusqu'à l'ordre n pour t ∈ [a, b]s'il existe des solutions du système :

Il semble commode de commencer cette étude par la discussion du problème homogène :

Pour résoudre (26), il suffit une fois construit un système fondamental de solutions de l'équation L(u) = 0, soit u1(t ), u2(t ), ..., un(t ), de rechercher la solution du système (26) sous la forme :

les n coefficients c1, ..., cn devant alors être calculés par le moyen des m équations linéaires à n inconnues :

Si le rang de la matrice Ui(uj) est égal à p ≤ n, il existe n − p vecteurs { c1, c2 ..., cn} indépendants vérifiant (27). Si le rang de cette matrice est égal à n, ce qui implique m ≥ n, le système (27) n'a pas de solution hormis la solution banale u = 0.

Des considérations analogues peuvent être développées pour le système (25).

Le système adjoint

Supposant que les coefficients pj(t ) ont des dérivées par rapport à t jusqu'à l'ordre n − j, introduisons l' opérateur :

grâce auquel on obtient l'identité de Lagrange :
où P(u, v) est une forme bilinéaire homogène par rapport aux deux ensembles de variables u, u′, ..., u(n-1), et v, v′, ..., v(n-1). Par intégration on obtient :

Complétons le système des m formes linéaires données Ui(u) par 2n − m formes linéaires des variables u(a), ..., u(n-1)(a), u(b), ..., u(n-1)(b), de telle sorte que le système des 2n formes ainsi obtenu soit encore indépendant. On peut montrer qu'il existe alors un système de 2n formes linéaires indépendantes des 2n variables v(a), v′(a), ..., v(n-1)(a), v(b), v(n-1)(b), soit V1(v) ... V2n(v) tel que l'on ait l'identité :

Supposant U1, U2, ..., Um fixées, remplaçons les formes U′m+1, ..., U′2n des mêmes variables constituant avec U1, ..., Um un système indépendant. Dans la formule (30), les formes V1, ..., V2n-m seront alors changées en des formes V′1, ..., V′2n-m, mais ces deux derniers systèmes de 2n − m formes sont équivalents. Le système V1 ... V2n-m ne dépend donc en tant que système de formes linéaires, que des m formes données U1, ..., Um, ce qui justifie la définition suivante : Le système :

avec i = 1, 2, ..., 2 n − m, est dit adjoint au système (26).

Le cas des systèmes différentiels autoadjoints du second ordre

Un cas très important pour les applications est celui où :

Une condition nécessaire et suffisante pour que L(u) = ∼L(u) est que p0′ = p1, et dans ce cas on peut écrire :

Toutefois, si L(u) n'est pas autoadjoint, on peut le rendre tel par multiplication par un facteur convenable :

Puisque, ainsi, toute équation du second ordre peut être réduite à sa forme autoadjointe, on peut se borner à l'étude d'équation du type :

connue sous le nom d'équation de Sturm-Liouville.

Étant donné le problème aux limites :

on peut construire le système adjoint :
et chercher sous quelles conditions il est autoadjoint, ce qui revient à exprimer que le système des formes U1(u), U2(u) est équivalent au système V1(u), V2(u). On montre qu'il en est ainsi si et seulement si :
Exemple :

Le problème de Sturm-Liouville peut être posé comme suit : étant donné l'équation[...]

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Écrit par

  • Christian COATMELEC : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
  • Maurice ROSEAU : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
  • Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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Classification

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 8 527 mots
    Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du ...

  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
    • 6 250 mots
    • 1 média
    Plaçons-nous d'abord dans le cas d'un système linéaire à coefficients constants :
    où A est une matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes et x : t ↦ x (t) une fonction de classe C1 sur [0, + ∞ [ à valeurs dans Cn. Pour toute condition initiale a ∈ ...

  • BUSH VANNEVAR (1890-1974)

    • Écrit par Bruno JACOMY
    • 1 076 mots
    • 1 média
    ...jeu une multitude de problèmes liés au comportement des lignes, à leur infrastructure ou à la topographie du terrain. Leur résolution fait appel à des équations différentielles complexes que les ingénieurs résolvent généralement par intégration graphique, en calculant l’aire définie par une courbe....

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par René TATON
    • 11 465 mots
    • 3 médias
    On sait que plusieurs savants de la première moitié du xviie siècle avaient rencontré certains problèmes relatifs à des équations différentielles, problèmes auxquels ils n'avaient su donner qu'une présentation et qu'une solution imparfaites. Dès la mise au point de leurs méthodes de calcul infinitésimal,...
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Voir aussi

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