DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS
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Le problème de Sturm-Liouville
Position du problème
Considérons l'équation différentielle linéaire d'ordre n :

Imaginons un ensemble de m conditions aux limites du type :


Il semble commode de commencer cette étude par la discussion du problème homogène :

Pour résoudre (26), il suffit une fois construit un système fondamental de solutions de l'équation L(u) = 0, soit u1(t ), u2(t ), ..., un(t ), de rechercher la solution du système (26) sous la forme :


Si le rang de la matrice Ui(uj) est égal à p ≤ n, il existe n − p vecteurs { c1, c2 ..., cn} indépendants vérifiant (27). Si le rang de cette matrice est égal à n, ce qui implique m ≥ n, le système (27) n'a pas de solution hormis la solution banale u = 0.
Des considérations analogues peuvent être développées pour le système (25).
Le système adjoint
Supposant que les coefficients pj(t ) ont des dérivées par rapport à t jusqu'à l'ordre n − j, introduisons l'opérateur :



Complétons le système des m formes linéaires données Ui(u) par 2n − m formes linéaires des variables u(a), ..., u(n-1)(a), u(b), ..., u(n-1)(b), de telle sorte que le système des 2n formes ainsi obtenu soit encore indépendant. On peut montrer qu'il existe alors un système de 2n formes linéaires indépendantes des 2n variables v(a), v′(a), ..., v(n-1)(a), [...]
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l’article se compose de 18 pages
Écrit par :
- Christian COATMELEC : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
- Maurice ROSEAU : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
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Pour citer l’article
Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU, « DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 avril 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-differentielles/