DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Le problème de Sturm-Liouville

Position du problème

Considérons l'équation différentielle linéaire d'ordre n :

où p₀(t ), ..., p_n(t ), r(t ) sont des fonctions continues de la variable réelle t dans l'intervalle t ∈ [a, b], et p₀(t ) ≠ 0 pour t ∈ [a, b].

Imaginons un ensemble de m conditions aux limites du type :

où les α_i^j, β_i^j, γ_i sont des nombres donnés, les formes linéaires (24) étant supposées linéairement indépendantes par rapport aux 2 n variables u(a), u′(a), ..., u^(n-1)(a), u(b), ..., u^(n-1)(b), ce qui implique m ≤ 2n. On se propose de rechercher dans la classe des fonctions différentiables jusqu'à l'ordre n pour t ∈ [a, b] s'il existe des solutions du système :

Il semble commode de commencer cette étude par la discussion du problème homogène :

Pour résoudre (26), il suffit une fois construit un système fondamental de solutions de l'équation L(u) = 0, soit u₁(t ), u₂(t ), ..., u_n(t ), de rechercher la solution du système (26) sous la forme :

les n coefficients c₁, ..., c_n devant alors être calculés par le moyen des m équations linéaires à n inconnues :

Si le rang de la matrice U_i(u_j) est égal à p ≤ n, il existe n − p vecteurs { c₁, c₂ ..., c_n} indépendants vérifiant (27). Si le rang de cette matrice est égal à n, ce qui implique m ≥ n, le système (27) n'a pas de solution hormis la solution banale u = 0.

Des considérations analogues peuvent être développées pour le système (25).

Le système adjoint

Supposant que les coefficients p_j(t ) ont des dérivées par rapport à t jusqu'à l'ordre n − j, introduisons l'opérateur :

grâce auquel on obtient l'identité de Lagrange :où P(u, v) est une forme bilinéaire homogène par rapport aux deux ensembles de variables u, u′, ..., u^(n-1), et v, v′, ..., v^(n-1). Par intégration on obtient :

Complétons le système des m formes linéaires données U_i(u) par 2n − m formes linéaires des variables u(a), ..., u^(n-1)(a), u(b), ..., u^(n-1)(b), de telle sorte que le système des 2n formes ainsi obtenu soit encore indépendant. On peut montrer qu'il existe alors un système de 2n formes linéaires indépendantes des 2n variables v(a), v′(a), ..., v^(n-1)(a), [...]

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