DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Intégration numérique des équations différentielles

Méthode d'Euler

Prenons d'abord le cas d'une équation différentielle du 1er ordre : Trouver y, fonction d'une variable x, dérivable sur [x0x0 + a] = I, telle que, f désignant une fonction continue sur I × R,

pour tout ∈ I, et :
où λ est donné dans R.

L'idée est de remplacer le problème théorique précédent, noté P, par le problème discrétisé Pn suivant (méthode d'Euler) : Trouver Yn = (y0y1, ..., yn), suite finie de n + 1 nombres réels telle que :

où :
ce problème Pn est obtenu en divisant I = [x0x0 + a] en n parties égales avec un pas égal à h = a/n et en cherchant une approximation yi de y(xi) où y est la solution (lorsqu'elle est unique) de P1.

Le raisonnement, fort simple, est le suivant : Si y est solution unique de P1, y′(xi) est proche de :

et donc, si yi est « proche » de y(xi), on peut remplacer P1 par Pn.

Pn est un problème discrétisé associé à P1. On remarque alors immédiatement qu'une notion importante va devoir être précisée : comment dire que la solution de Pn converge vers celle de P1 lorsque n tend vers + ∞. L'analyse numérique devra fournir des majorations pour |y(xi) − yi|.

Dans la suite, nous supposerons toujours que f satisfait à la condition (L) suivante appelée condition de Lipschitz globale : il existe L ≥ 0 tel que :

pour tout ∈ I, ∈ R et ∈ R.

Cette condition assure l'existence et l'unicité du problème P (cf. chap. 4).

On peut espérer que, si h est assez petit, le nombre yi est proche de y(xi). C'est pourquoi le nombre ei = y(xi) − yi sera appelé l'erreur au point xi, tandis que :

est l'erreur globale aux points xi, 0 ≤ ≤ n.

Le procédé Ph est dit convergent si :

Notons que cette notion de convergence est peu habituelle ; car la solution de P est une fonction ↦ y(x), alors que la solution Yn de Pn est une suite finie de n + 1 nombres réels. Ainsi, y et Yn n'appartiennent pas au même espace et nous ne pouvons pas mesurer une distance éventuelle de y à Yn. Néanmoins, cette notion de convergence satisfait le physicien, qui ne cherche pas explicitement y mais qui veut surtout des valeurs approc [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 18 pages

Écrit par :

  • : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
  • : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie

Classification

Autres références

«  DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS  » est également traité dans :

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 744 mots

Dans le chapitre « Équations différentielles et équations aux dérivées partielles »  : […] Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviii e  siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équati […] Lire la suite

ASYMPTOTIQUES CALCULS

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 511 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Systèmes dans le champ réel »  : […] Plaçons-nous d'abord dans le cas d'un système linéaire à coefficients constants : où A est une matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes et x  :  t  ↦  x  ( t ) une fonction de classe C 1 sur [0, + ∞ [ à valeurs dans C n . Pour toute condition initiale a  ∈  C n , l'unique solution du problème de Cauchy x (0) =  a est donnée par : Lorsque A est diagonalisable, de valeurs propres λ 1   […] Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par 
  • René TATON
  •  • 11 508 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Équations différentielles »  : […] On sait que plusieurs savants de la première moitié du xvii e  siècle avaient rencontré certains problèmes relatifs à des équations différentielles, problèmes auxquels ils n'avaient su donner qu'une présentation et qu'une solution imparfaites. Dès la mise au point de leurs méthodes de calcul infinitésimal, Newton et Leibniz réussirent à résoudre les formes d'équations différentielles les plus simp […] Lire la suite

CARTWRIGHT MARY LUCY (1900-1998)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 539 mots

Mathématicienne britannique spécialiste de l'analyse complexe et des équations différentielles. Née le 17 décembre 1900 à Aynho dans le Northamptonshire (Royaume-Uni), Mary Lucy Cartwright est la fille d'un pasteur de l'Église anglicane. Admise en octobre 1919 au collège Saint Hugh de l'université d'Oxford pour y étudier les mathématiques, elle en sort diplômée en 1923 et enseigne pendant quatre a […] Lire la suite

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 1 403 mots

Dans le chapitre « Équations différentielles »  : […] Mais, dans ce rôle de législateur de l'analyse, la plus profonde contribution de Cauchy se situe sans conteste dans le domaine des équations différentielles, où il est le premier à donner des démonstrations générales d'existence et d'unicité des solutions (ses prédécesseurs ne se posaient même pas ces questions). En fait, les trois méthodes principales dont on lui attribue d'ordinaire la paternit […] Lire la suite

CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 212 mots

Mathématicien français. Né à Paris, Clairaut (ou Clairault) fit, sous la conduite de son père qui était professeur de mathématiques, de tels progrès en cette science qu'à l'âge de douze ans il lisait devant l'Académie une note sur les propriétés de quatre courbes qu'il avait découvertes. Ses Recherches sur les courbes à double courbure (1731) le firent élire à l'Académie des sciences, bien qu'il […] Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS
  •  • 10 860 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Les équations de réaction-diffusion »  : […] On a vu au chapitre 2 que l'étude du comportement asymptotique des solutions de l'équation de Navier-Stokes était encore très fragmentaire. En particulier, il n'est pas possible de démontrer pour les équations de Navier-Stokes des résultats qualitatifs aussi précis que ceux que l'on observe sur des modèles à un nombre fini de degrés de liberté comme le système de Lorenz. Par contre, pour les équat […] Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
  •  • 6 318 mots
  •  • 1 média

On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques. Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, celles des équations et systèmes d'équations aux dérivées […] Lire la suite

ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Gilles LACHAUD
  •  • 1 488 mots

Dans le chapitre « Équations différentielles »  : […] Les équations différentielles sont des équations dont les coefficients et les variables sont eux-mêmes des fonctions, et dont les termes contiennent les dérivées de cette fonction ainsi que la fonction elle-même. Les équations différentielles ordinaires impliquent une fonction y d'une seule variable x et ses dérivées y ', y '', etc. ; l' ordre d'une telle équation est l'ordre de la plus haute […] Lire la suite

FORME

  • Écrit par 
  • Jean PETITOT
  •  • 27 547 mots

Dans le chapitre « Perturbations singulières »  : […] De nombreux travaux ont également été effectués sur les équations différentielles contraintes, c'est-à-dire sur les systèmes dynamiques pour lesquels il existe deux échelles de temps, une dynamique « rapide » amenant le point représentatif de l'espace de phase M × W sur une variété « lente » Σ ⊂ M × W (surface des états) et une dynamique « lente » faisant évoluer l'état sur Σ (cf.  supra .). Les […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU, « DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-differentielles/