DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Méthode d'Euler

Prenons d'abord le cas d'une équation différentielle du 1^er ordre : Trouver y, fonction d'une variable x, dérivable sur[x₀, x₀ + a] = I, telle que, f désignant une fonction continue sur I × R,

pour tout x ∈ I, et :où λ est donné dans R.

L'idée est de remplacer le problème théorique précédent, noté P, par le problème discrétisé P_n suivant (méthode d'Euler) : Trouver Y_n = (y₀, y₁, ..., y_n), suite finie de n + 1 nombres réels telle que :

où :ce problème P_n est obtenu en divisant I = [x₀, x₀ + a]en n parties égales avec un pas égal à h = a/n et en cherchant une approximation y_i de y(x_i) où y est la solution (lorsqu'elle est unique) de P₁.

Le raisonnement, fort simple, est le suivant : Si y est solution unique de P₁, y′(x_i) est proche de :

et donc, si y_i est « proche » de y(x_i), on peut remplacer P₁ par P_n.

P_n est un problème discrétisé associé à P₁. On remarque alors immédiatement qu'une notion importante va devoir être précisée : comment dire que la solution de P_n converge vers celle de P₁ lorsque n tend vers + ∞. L'analyse numérique devra fournir des majorations pour |y(x_i) − y_i|.

Dans la suite, nous supposerons toujours que f satisfait à la condition (L) suivante appelée condition de Lipschitz globale : il existe L ≥ 0 tel que :

pour tout x ∈ I, u ∈ R et v ∈ R.

Cette condition assure l'existence et l'unicité du problème P (cf. chap. 4).

On peut espérer que, si h est assez petit, le nombre y_i est proche de y(x_i). C'est pourquoi le nombre e_i = y(x_i) − y_i sera appelé l'erreur au point x_i, tandis que :

est l'erreur globale aux points x_i, 0 ≤ i ≤ n.

Le procédé P_h est dit convergent si :

Notons que cette notion de convergence est peu habituelle ; car la solution de P est une fonction x ↦ y(x), alors que la solution Y_n de P_n est une suite finie de n + 1 nombres réels. Ainsi, y et Y_n n'appartiennent pas au même espace et nous ne pouvons pas mesurer une distance éventuelle de y à Y_n. Néanmoins, cette notion de convergence satisfait le physicien, qui ne cherche pas explicitement y mais qui veut surtout des valeurs approchées de y(x_i) pour un certain pas h. Si E_n est petit, l'erreur de discrétisation provoquée par le passage de P à P_n est faible.

Théorème. Si (L) est satisfaite, le procédé P_n est convergent. Plus précisément, on peut montrer que :

où les maximums sont pris pour t₁∈ I, t₂∈ I, avec |t₁ − t₂| ≤ h.

Cette majoration prouve la convergence ; car, f étant continue, la solution unique de P possède une dérivée continue sur I, donc uniformément continue, de sorte que le maximum y′(t₁) − y′(t₂), pour |t₁ − t₂| ≤ h, tend vers 0 avec h.

Néanmoins, cette majoration ne donne pas de bornes pour l'erreur commise, car elle fait intervenir la dérivée de la fonction inconnue.

Cherchons une majoration de E_n. Prenons tout d'abord (L) comme seule hypothèse. On peut alors montrer que la solution unique de P satisfait à :

où :

Une majoration de K₁ est en général assez simple à déterminer, de sorte qu'on peut définir un ensemble borné D de I × R qui contient (x, y(x)) tel que y soit solution de P. C'est l'ensemble D, défini par :

Si, sur D, qui est un ensemble borné fermé, la fonction f possède des dérivées partielles continues :

on peut alors majorer |e_i| par :

Remarquons que cette majoration est utilisable si on peut calculer aisément :

et si on peut majorer simplement :où le maximum est pris pour (x, y) ∈ D, et de même pour :

Le résultat final est alors :

Ainsi, la convergence est en 1/n. On peut l'accélérer par la méthode d'extrapolation à la limite (méthode de Richardson, ou encore de Romberg).[...]