DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

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Les systèmes différentiels linéaires dans le champ complexe

On peut reprendre les problèmes discutés précédemment en supposant que les fonctions qui interviennent dans la définition du système (1) ou (2) sont des fonctions analytiques de la variable z dans un domaine Ω. On suppose d'abord que Ω est un domaine simplement connexe, c'est-à-dire un ensemble de points du plan complexe ouvert et connexe dont le complément par rapport au plan complexe muni du point à l'infini est connexe. On se propose de discuter le problème aux limites :

avec z∈ Ω donné, x0 vecteur de Cn donné, A(z) matrice × n dont les éléments sont fonction holomorphe de z dans Ω.

On peut établir, en se servant de la méthode d'approximations successives, que le système (13) a une solution unique x(z) holomorphe dans Ω. On peut aussi considérer le même problème pour le système matriciel :

X0 étant une matrice × n donnée, et on parvient à une conclusion analogue, c'est-à-dire à l'existence d'une solution unique X(z) qui est une matrice × n dont les éléments sont fonction holomorphe de z dans Ω.

Le théorème de Jacobi sous la forme :

et les considérations antérieures sur les systèmes de solutions indépendantes développées dans le cas de variable réelle demeurent valables ici.

La structure des solutions dans le voisinage d'un point singulier

Une situation nouvelle apparaît si l'on suppose que la matrice A(z) possède des singularités ; plus précisément nous supposons que la singularité est en z = 0 et que A(z) est holomorphe dans le voisinage 0 < |z| < R ; on précisera plus loin la nature de cette singularité ce peut être un pôle (ce qui signifie que les éléments aij(z) de A(z) ont tous au plus une singularité polaire en z = 0) ou une singularité essentielle (ce qui signifie que, parmi les éléments aij(z), il en est un au moins qui possède, en z = 0, une singularité de cette nature).

D'après le résultat qui précède, on peut définir une solution de (14), X(z) matrice non singulière (on suppose det X≠ 0), fonction holomorphe de z dans tout domaine simplement connexe [...]


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  • : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
  • : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie

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Pour citer l’article

Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU, « DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-differentielles/