ANALYSE MATHÉMATIQUE

L'analyse mathématique est le développement des notions et résultats fondamentaux du calcul infinitésimal. Ce dernier s'était déjà considérablement enrichi et diversifié entre les mains des mathématiciens du xviii^e siècle, avant tout Euler et Lagrange. À partir de 1800, cette diversification s'accentue encore et s'accompagne d'un nouvel état d'esprit. Nous allons essayer, dans cet article, de donner une vue d'ensemble de cette évolution au cours du xix^e siècle et au début du xx^e siècle, en renvoyant pour les détails aux articles spécialisés.

Il est difficile de décrire en une phrase l'« analyse moderne », aboutissement de cette évolution ; en la prenant dans son acception la plus large, on peut dire que l'on fait de l'analyse lorsqu'on calcule sur les notions de limite ou de continuité ; il y a donc fort peu de parties des mathématiques où l'analyse n'intervienne sous une forme ou une autre.

Mais ce qui distingue l'analyse mathématique actuelle, c'est, d'une part, qu'au lieu de limiter les domaines décrits par les « variables » et les valeurs des fonctions à des ouverts dans les espaces Rⁿ elle peut envisager le cas où ces domaines sont des variétés différentielles quelconques ; et, d'autre part, qu'elle s'appuie dans une large mesure sur les résultats généraux d'algèbre et de topologie qui forment l'armature de la théorie des espaces fonctionnels.

La théorie des fonctions analytiques

La notion de fonction remonte au xvii^e siècle ; mais jusque vers 1800, on admettait généralement qu'une fonction f d'une variable réelle, définie dans un intervalle, était indéfiniment dérivable, sauf en un nombre fini de points exceptionnels. On peut, pour une telle fonction, et pour tout point non exceptionnel x₀, former la série de Taylor de f au point x₀ :

et comme les idées sur la convergence des séries étaient restées des plus floues, on admettait que la fonction « était » sa série de Taylor au voisinage du point x₀. L'usage de plus en plus répandu des nombres complexes permettait en outre de parler de telles séries pour des valeurs complexes des variables x et x₀ et des coefficients (bien qu'en l'absence d'une représentation géométrique des nombres complexes l'utilisation de telles « fonctions d'une variable complexe » demeurât assez limitée).

Le début du xix^e siècle est caractérisé tout d'abord par un retour à la rigueur, notamment dans l'emploi des séries, où, sous l'influence de Gauss et surtout d'Abel et de Cauchy, il est assez rapidement admis qu'une série n'a de sens que lorsqu'on a prouvé sa convergence. Or, une fonction d'une variable réelle peut être indéfiniment dérivable dans un intervalle |x − x₀| ≤ α, sans que sa série de Taylor au point x₀ converge pour x ≠ x₀ ; il se peut aussi que la série de Taylor au point x₀ soit convergente pour tout x, mais que sa somme soit différente de la fonction d'où l'on est parti (ce dernier cas se présente par exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x²) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x₀ = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x₀ où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis longtemps que les fonctions rationnelles, ou la fonction e^x, étaient analytiques ; Abel prouva qu'il en est de même de x^μ et de log x (pour x > 0). Mais c'est Cauchy qui est l'initiateur de la théorie générale des fonctions analytiques.

Il a l'heureuse idée de se placer d'emblée dans le domaine complexe (où l'on dit aussi alors « fonction holomorphe » au lieu de « fonction analytique »), et en quelques années progresse à pas de géant grâce à l'introduction d'un outil très puissant, les intégrales curvilignes dans le plan complexe. Si D est un ouvert du plan complexe C, γ :[α, β] → D un « arc de courbe » dans D (c'est-à-dire une fonction complexe continûment dérivable, définie dans un intervalle compact [α, β] de R et à valeurs dans D), f une fonction complexe continue (mais non nécessairement analytique) dans D, on note :

l'intégrale :obtenue par le « changement de variable » z = γ(t). Le résultat essentiel obtenu par Cauchy exprime une remarquable « solidarité » entre les valeurs d'une fonction holomorphe f dans D : soit Δ : |z − z₀| ≤ r un disque fermé contenu dans D, et γ : t ↦ z₀ + re^it le « circuit » formé par sa « circonféren [...]

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