DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Articles

• DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

  • Écrit par Christian COATMELEC, Universalis, Maurice ROSEAU
  • 11 635 mots

  Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions...

• ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 8 527 mots
  Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du ...

• ASYMPTOTIQUES CALCULS

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
  • 6 250 mots
  • 1 média
  Plaçons-nous d'abord dans le cas d'un système linéaire à coefficients constants :

  

  où A est une matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes et x : t ↦ x (t) une fonction de classe C¹ sur [0, + ∞ [ à valeurs dans Cⁿ. Pour toute condition initiale a ∈ ...

• BUSH VANNEVAR (1890-1974)

  • Écrit par Bruno JACOMY
  • 1 075 mots
  • 1 média
  ...jeu une multitude de problèmes liés au comportement des lignes, à leur infrastructure ou à la topographie du terrain. Leur résolution fait appel à des équations différentielles complexes que les ingénieurs résolvent généralement par intégration graphique, en calculant l’aire définie par une courbe....

• CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par René TATON
  • 11 465 mots
  • 3 médias
  On sait que plusieurs savants de la première moitié du xvii^e siècle avaient rencontré certains problèmes relatifs à des équations différentielles, problèmes auxquels ils n'avaient su donner qu'une présentation et qu'une solution imparfaites. Dès la mise au point de leurs méthodes de calcul infinitésimal,...

• CARTWRIGHT MARY LUCY (1900-1998)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 540 mots

  Mathématicienne britannique spécialiste de l'analyse complexe et des équations différentielles. Née le 17 décembre 1900 à Aynho dans le Northamptonshire (Royaume-Uni), Mary Lucy Cartwright est la fille d'un pasteur de l'Église anglicane. Admise en octobre 1919 au collège Saint Hugh de l'université...

• CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 1 402 mots
  Mais,dans ce rôle de législateur de l'analyse, la plus profonde contribution de Cauchy se situe sans conteste dans le domaine des équations différentielles, où il est le premier à donner des démonstrations générales d'existence et d'unicité des solutions (ses prédécesseurs ne se posaient même pas ces...

• CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)

  • Écrit par Universalis
  • 212 mots

  Mathématicien français. Né à Paris, Clairaut (ou Clairault) fit, sous la conduite de son père qui était professeur de mathématiques, de tels progrès en cette science qu'à l'âge de douze ans il lisait devant l'Académie une note sur les propriétés de quatre courbes qu'il avait découvertes. Ses ...

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

  • Écrit par Claude BARDOS
  • 10 628 mots
  • 3 médias
  ...décrire l'existence de fronts et leur stabilité, ce qui conduit à chercher des solutions de la forme u(x, t) = u(x − ct). Reportant dans l'équation (3), on obtient l'équation différentielle ordinaire :

  

  qui s'écrit comme un système en introduisant la variable v = u′ :

  

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications

  • Écrit par Martin ZERNER
  • 6 220 mots
  • 1 média

  On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques.

  Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires...

• ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par Gilles LACHAUD
  • 1 423 mots
  Les équations différentielles sont des équations dont les coefficients et les variables sont eux-mêmes des fonctions, et dont les termes contiennent les dérivées de cette fonction ainsi que la fonction elle-même. Les équations différentielles ordinaires impliquent une fonction y d'une seule...

• FORME

  • Écrit par Jean PETITOT
  • 27 344 mots
  De nombreux travaux ont également été effectués sur les équations différentielles contraintes, c'est-à-dire sur les systèmes dynamiques pour lesquels il existe deux échelles de temps, une dynamique « rapide » amenant le point représentatif de l'espace de phase M × W sur une variété « lente » Σ ⊂ M × W...

• HALPHEN GEORGES-HENRI (1844-1889)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 631 mots

  Mathématicien brillant, travailleur acharné, doué d'un profond talent d'algébriste, Georges-Henri Halphen a attaché son nom surtout à des résultats de géométrie analytique.

  Né à Rouen le 30 octobre 1844, il fut élevé à Paris, reçut sa première formation au lycée Saint-Louis,...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 1 média
  On considère une équation différentielle linéaire d'ordre n dans un ouvert U du plan projectif complexe P¹ :

  

  c'est Fuchs qui, le premier, mit en lumière un type particulier parmi ces équations, caractérisées par des propriétés soit analytiques, soit algébriques. Ces équations, dites à ...

• INTÉGRALES ÉQUATIONS

  • Écrit par Universalis, Michel HERVÉ
  • 2 459 mots
  Le problème de Sturm-Liouville (cf. équations différentielles, chap. 3) concerne les valeurs du paramètre réel λ pour lesquelles l'équation différentielle linéaire homogène :

  

• LAGRANGE JOSEPH LOUIS (1736-1813)

  • Écrit par Universalis, Jean ITARD
  • 1 603 mots
  • 1 média
  ...premier volume paru en 1811, le second, posthume, étant de 1816. La mécanique de Lagrange, qui ramène l'étude de tout problème à la résolution d'équations différentielles, est aussi importante dans l'histoire du déterminisme scientifique que les travaux de mécanique céleste de Newton. Elle sera le point de...

• LIAPOUNOV ALEXANDRE MIKHAÏLOVITCH (1857-1918)

  • Écrit par Universalis
  • 503 mots

  Mathématicien et physicien russe, membre de l'Académie des sciences. Après des études à l'université de Saint-Pétersbourg, il est assistant puis professeur à l'université de Kharkov. En 1902, il est nommé professeur à l'université de Saint-Pétersbourg.

  Élève...

• LITTLEWOOD JOHN EDENSOR (1885-1977)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 566 mots

  Mathématicien britannique, spécialiste de l'analyse. Né le 9 juin 1885 à Rochester dans le Kent, John Edensor Littlewood est le fils du mathématicien Edward Thornton Littlewood, qui avait été nommé en 1892 directeur d'une école de Wynberg en Afrique du Sud. Il quitte sa famille en 1900 pour suivre...

• MÉCANIQUE CÉLESTE

  • Écrit par Bruno MORANDO
  • 6 044 mots
  • 4 médias
  ...et n corps P_i de masses m_i. Les équations du mouvement du corps P_i sont :

  

  où j varie de 1 à n sans prendre la valeur i. Il y aura donc 3n équations différentielles du second ordre à intégrer pour connaître le mouvement des n corps. Seules dix intégrales premières du mouvement sont connues, et...

• MÉDAILLES FIELDS 2018

  • Écrit par Universalis
  • 1 611 mots
  • 1 média

  Les médailles Fields récompensent tous les quatre ans des mathématiciens de moins de quarante ans, lors du congrès de l’Union mathématique internationale. En 2018, le congrès réuni le 1^er août à Rio de Janeiro a attribué cette récompense à l’Irano-Britannique Caucher Birkar, à l’Italien Alessio...

• ORTHOGONAUX POLYNÔMES

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT
  • 2 255 mots
  ...dérivables sur I, la fonction a ne s'annulant pas sur l'intérieur de I et admettant un zéro simple aux points α et β. On considère l' équation différentielle :

  

  où λ est un nombre complexe. De telles équations interviennent, par exemple, dans les problèmes de Sturm-Liouville. Les solutions...

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