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DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Les systèmes différentiels non linéaires

Les systèmes différentiels non linéaires dans le champ réel

On considère le système différentiel :

où x ∈ Rn, f (x, t ) une fonction à valeurs dans Rn, t une variable réelle. On suppose f (x, t ) définie et continue dans l'ensemble −G × [t0, t0 + T], où G est un ensemble ouvert et borné dans Rn.

Avec x0 donné dans G, on se propose de discuter le problème aux limites :

On peut imaginer le procédé constructif suivant : soit t0 < t1 < t2 ... < tp < ..., une suite finie de valeurs de t et :

et introduisons la fonction x̃ (t ) à valeurs dans Rn définie par :

La fonction x̃ (t ) est évidemment continue, sa représentation dans Rn étant une ligne polygonale. On peut espérer, si les intervalles tj + 1 − tj ne sont pas trop grands ou mieux tendent vers 0, que x(t ) tendra d'une certaine façon vers une fonction x(t ) solution de (43).

Tel est le principe de la méthode des différences finies dont les applications débordent largement le cadre de la théorie des équations différentielles. On peut établir ainsi le théorème : Si f (x, t ) est continue dans

où G est un ensemble ouvert et borné de Rn, alors pour tout x0 ∈ G, il existe une fonction vectorielle x(t ) solution de (43) dans l'intervalle[t, t + h], où :
d étant la distance de x0 à la frontière de G. On pourra prendre pour définition de la norme de f, ou de x, ∥f ∥, ∥x∥, la somme des modules des composantes ; on a :

On notera que cet énoncé exprime seulement l'existence d'une solution ; si l'on fait l'hypothèse additionnelle :

quels que soient (x′, x″) ∈ G, t ∈[t0, t0 + T], où k est une constante (condition de Lipschitz), alors on peut établir qu'il y a unicité.

D'autre part, les propriétés de la solution à l'égard des conditions initiales peuvent être appréciées par le résultat suivant : si l'on suppose que f (x, t ) a des dérivées partielles premières par rapport aux composantes de x continues dans ∥x − x0∥ ≤ δ, t ∈ [t0, t0 + T], alors la solution x(t ) du système (43), qui existe et est unique dans t ∈ [t0, t0 + h], a des dérivées partielles premières continues par rapport aux composantes de x0.

Une autre méthode d'approche est celle des approximations successives, que nous avons déjà rencontrée. On fait l'hypothèse (44) et l'on définit la suite x1(t ), ..., xm(t ) par :

équivalente à :

On montre aisément que cette suite peut-être construite dans t ∈ [t0, t0 + h]et converge uniformément dans cet intervalle vers une fonction x(t ) solution de (43) ; le même type d'argument permet d'établir l'unicité (cf. chap. 7 Intégration numérique des équations différentielles pour l'aspect numérique).

Les systèmes différentiels non linéaires dans le champ complexe

On peut développer des théorèmes d'existence locale assez voisins de ceux qui sont décrits dans le cas précédent. Mais l'étude des solutions d'un point de vue global est très instructive et amène à des distinctions intéressantes lorsqu'on discute de leurs singularités.

Celles-ci sont, en général, de deux sortes : les singularités fixes qu'on peut prévoir a priori d'après la nature du système différentiel donné et celles qui sont mobiles, c'est-à-dire dépendent des conditions initiales. Pour simplifier, on se bornera, dans l'exposé qui suit, au seul cas des équations différentielles non linéaires.

Dans le cas d'une équation du premier ordre : du/dz = f (z, u), f fonction analytique de z et rationnelle en u, on démontre qu'il ne peut pas exister de singularité essentielle mobile, quoique des singularités mobiles plus simples puissent apparaître (pôle ou point[...]

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Écrit par

  • Christian COATMELEC : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
  • Maurice ROSEAU : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
  • Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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Classification

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 8 527 mots
    Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du ...

  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
    • 6 250 mots
    • 1 média
    Plaçons-nous d'abord dans le cas d'un système linéaire à coefficients constants :
    où A est une matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes et x : t ↦ x (t) une fonction de classe C1 sur [0, + ∞ [ à valeurs dans Cn. Pour toute condition initiale a ∈ ...

  • BUSH VANNEVAR (1890-1974)

    • Écrit par Bruno JACOMY
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    ...jeu une multitude de problèmes liés au comportement des lignes, à leur infrastructure ou à la topographie du terrain. Leur résolution fait appel à des équations différentielles complexes que les ingénieurs résolvent généralement par intégration graphique, en calculant l’aire définie par une courbe....

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par René TATON
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    On sait que plusieurs savants de la première moitié du xviie siècle avaient rencontré certains problèmes relatifs à des équations différentielles, problèmes auxquels ils n'avaient su donner qu'une présentation et qu'une solution imparfaites. Dès la mise au point de leurs méthodes de calcul infinitésimal,...
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Voir aussi

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