DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Les systèmes différentiels non linéaires

Les systèmes différentiels non linéaires dans le champ réel

On considère le système différentiel :

où x ∈ Rⁿ, f (x, t ) une fonction à valeurs dans Rⁿ, t une variable réelle. On suppose f (x, t ) définie et continue dans l'ensemble −G × [t₀, t₀ + T], où G est un ensemble ouvert et borné dans Rⁿ.

Avec x₀ donné dans G, on se propose de discuter le problème aux limites :

On peut imaginer le procédé constructif suivant : soit t₀ < t₁ < t₂ ... < t_p < ..., une suite finie de valeurs de t et :

et introduisons la fonction x̃ (t ) à valeurs dans Rⁿ définie par :

La fonction x̃ (t ) est évidemment continue, sa représentation dans Rⁿ étant une ligne polygonale. On peut espérer, si les intervalles t_j + 1 − t_j ne sont pas trop grands ou mieux tendent vers 0, que x(t ) tendra d'une certaine façon vers une fonction x(t ) solution de (43).

Tel est le principe de la méthode des différences finies dont les applications débordent largement le cadre de la théorie des équations différentielles. On peut établir ainsi le théorème : Si f (x, t ) est continue dans

où G est un ensemble ouvert et borné de Rⁿ, alors pour tout x₀ ∈ G, il existe une fonction vectorielle x(t ) solution de (43) dans l'intervalle [t, t + h], où :d étant la distance de x₀ à la frontière de G. On pourra prendre pour définition de la norme de f, ou de x, ∥f ∥, ∥x∥, la somme des modules des composantes ; on a :

On notera que cet énoncé exprime seulement l'existence d'une solution ; si l'on fait l'hypothèse additionnelle :

quels que soient (x′, x″) ∈ G, t ∈ [t₀, t₀ + T], où k est une constante (condition de Lipschitz), alors on peut établir qu'il y a unicité.

D'autre part, les propriétés de la solution à l'égard des conditions initiales peuvent être appréciées par le résultat suivant : si l'on suppose que f (x, t ) a des dérivées partielles premières par rapport aux composantes de x continues dans ∥x − x₀∥ ≤ δ, t ∈ [t₀, t₀ + T], alors la solution x(t ) du système (43), qui existe et est unique dans t ∈ [t₀, t₀ + h], a des dérivées partielles premières continues par rapport aux composantes de x₀.

Une autre méthode d'approche est celle des approximations successives, que nous avons déjà rencontrée. On fait l'hypothèse (44) et l'on définit la suite x₁(t ), ..., x_m(t ) par :

équivalente à :

On montre aisément que cette suite peut-être construite dans t ∈ [t₀, t₀ + h] et converge uniformément dans cet intervalle vers une fonction x(t ) solution de (43) ; le même type d'argument permet d'établir l'unicité (cf. chap. 7 Intégration numérique des équations différentielles pour l'aspect numérique).

Les systèmes différentiels non linéaires dans le champ complexe

On peut développer des théorèmes d'existence locale assez voisins de ceux qui sont décrits dans le cas précédent. Mais l'étude des solutions d'un point de vue global est très instructive et amène à des distinctions intéressantes lorsqu'on discute de leurs singularités.

Celles-ci sont, en général, de deux sortes : les singularités fixes qu'on peut prévoir a priori d'après la nature du système différentiel donné et celles qui sont mobiles, c'est-à-dire dépendent des conditions initiales. Pour simplifier, on se bornera, dans l'exposé qui suit, au seul cas des équations différentielles non linéaires.

Dans le cas d'une équation du premier ordre : du/dz = f (z, u), f fonction analytique de z et rationnelle en u, on démontre qu'il ne peut pas exister de singularité essentielle mobile, quoique des singularités mobiles plus simples puissent apparaître (pôle ou point de branchement). Exemple :

Mais, dans le cas d'équation du second ordre, ou d'ordre plus élevé, des singularités essentielles mobiles peuvent apparaître comme l'indique l'exemple suivant :

qui a la solution générale :A et B sont les constantes d'intégration, z = B/A est la singularité essentielle mobile.

Le problème se pose alors de déterminer s'il existe ou non des équations différentielles du second ordre :

où F est fonction analytique de z et rationnelle en u et du/dz telles que les points de branchement et singularités essentielles de toutes leurs solutions soient fixes.

Par une méthode de réductions successives on est conduit à cinquante types d'équations admissibles, tous étant intégrables au moyen de fonctions connues, sauf six ; les équations les plus intéressantes sont, bien entendu, celles, irréductibles, au nombre de six, qui servent à définir les transcendantes de Painlevé. On se bornera à écrire les deux plus simples :

On démontre que les sol [...]

1  2  3  4  5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 18 pages