DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

On considère le système différentiel :

où x ∈ Rⁿ, f (x, t ) une fonction à valeurs dans Rⁿ, t une variable réelle. On suppose f (x, t ) définie et continue dans l'ensemble −G × [t₀, t₀ + T], où G est un ensemble ouvert et borné dans Rⁿ.

Avec x₀ donné dans G, on se propose de discuter le problème aux limites :

On peut imaginer le procédé constructif suivant : soit t₀ < t₁ < t₂ ... < t_p < ..., une suite finie de valeurs de t et :

et introduisons la fonction x̃ (t ) à valeurs dans Rⁿ définie par :

La fonction x̃ (t ) est évidemment continue, sa représentation dans Rⁿ étant une ligne polygonale. On peut espérer, si les intervalles t_j + 1 − t_j ne sont pas trop grands ou mieux tendent vers 0, que x(t ) tendra d'une certaine façon vers une fonction x(t ) solution de (43).

Tel est le principe de la méthode des différences finies dont les applications débordent largement le cadre de la théorie des équations différentielles. On peut établir ainsi le théorème : Si f (x, t ) est continue dans

où G est un ensemble ouvert et borné de Rⁿ, alors pour tout x₀ ∈ G, il existe une fonction vectorielle x(t ) solution de (43) dans l'intervalle [t, t + h], où :d étant la distance de x₀ à la frontière de G. On pourra prendre pour définition de la norme de f, ou de x, ∥f ∥, ∥x∥, la somme des modules des composantes ; on a :

On notera que cet énoncé exprime seulement l'existence d'une solution ; si l'on fait l'hypothèse additionnelle :

quels que soient (x′, x″) ∈ G, t ∈ [t₀, t₀ + T], où k est une constante (condition de Lipschitz), alors on peut établir qu'il y a unicité.

D'autre part, les propriétés de la solution à l'égard des conditions initiales peuvent être appréciées par le résultat suivant : si l'on suppose que f (x, t ) a des dérivées partielles premières par rapport aux composantes de x continues dans ∥x − x₀∥ ≤ δ, t ∈ [t₀, t₀ + T], alors la solution x(t ) du système (43), qui existe et est unique dans t ∈ [t₀, t₀ + h], a des dérivées partielles premières continues par rapport aux composantes [...]