DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS
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Les systèmes différentiels non linéaires
Les systèmes différentiels non linéaires dans le champ réel
On considère le système différentiel :

Avec x0 donné dans G, on se propose de discuter le problème aux limites :

On peut imaginer le procédé constructif suivant : soit t0 < t1 < t2 ... < tp < ..., une suite finie de valeurs de t et :


La fonction x̃ (t ) est évidemment continue, sa représentation dans Rn étant une ligne polygonale. On peut espérer, si les intervalles tj + 1 − tj ne sont pas trop grands ou mieux tendent vers 0, que x(t ) tendra d'une certaine façon vers une fonction x(t ) solution de (43).
Tel est le principe de la méthode des différences finies dont les applications débordent largement le cadre de la théorie des équations différentielles. On peut établir ainsi le théorème : Si f (x, t ) est continue dans



On notera que cet énoncé exprime seulement l'existence d'une solution ; si l'on fait l'hypothèse additionnelle :

D'autre part, les propriétés de la solution à l'égard des conditions initiales peuvent être appréciées par le résultat suivant : si l'on suppose que f (x, t ) a des dérivées partielles premières par rapport aux composantes de x continues dans ∥x − x0∥ ≤ δ, t ∈ [t0, t0 + T], alors la solution x(t ) du système (43), qui existe et est unique dans t ∈ [t0, t0 + h], a des dérivées partielles premières continues par rapport aux composantes [...]
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Écrit par :
- Christian COATMELEC : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
- Maurice ROSEAU : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
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Pour citer l’article
Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU, « DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-differentielles/