APPROXIMATIONS SUCCESSIVES MÉTHODES DES

Articles

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

  • Écrit par Claude BARDOS, Martin ZERNER
  • 5 849 mots
  • 7 médias
  En pratique, on commence en général par linéariser l'équation. Lorsqu'elle est non linéaire, on est amené à une méthode itérative dont chaque pas est la résolution d'un problème aux dérivées partielles linéaires. Les calculs sont évidemment d'autant plus longs.

• DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

  • Écrit par Christian COATMELEC, Universalis, Maurice ROSEAU
  • 11 635 mots
  On notera qu'au système (4), (5) on peut substituer l'équation intégrale équivalente :

  

  qui se prête fort bien au calcul d'approximations successives inventé par Picard :

  

  avec x₀ = c (cf. espaces métriques, chap. 7).

• FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
  • 18 453 mots
  • 6 médias
  Pour prouver l'existence et l'unicité et étudier les solutions d'équations portant sur des fonctions, on s'inspire du cas des équations numériques en généralisant la méthode des approximations successives au cadre abstrait des espaces métriques complets (cf. espaces métriques...

• INTÉGRALES ÉQUATIONS

  • Écrit par Universalis, Michel HERVÉ
  • 2 459 mots
  Supposons A compact, le noyau K continu sur A² et, de même, f dans l'espace de Banach C(A) formé des fonctions y continues sur A à valeurs complexes, avec la norme :

  

• MÉTRIQUES ESPACES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 6 080 mots
  • 1 média
  On doit à E. Picard une méthode de construction de solution d'équations par approximations successives (équations numériques, théorèmes d'existence et d'unicité d'équations différentielles ou intégrales ; cf. équations différentielles, chap. 1 ; équations intégrales...

• NUMÉRIQUE CALCUL

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT
  • 5 567 mots
  ...astronome à l'observatoire de Samarcande, part de la relation sin 3 x = 3 sin x − 4 sin³ x. Connaissant sin 3⁰, il en déduit sin 1⁰, en résolvant par approximations successives l'équation :

  

  Plus précisément, on pose u₀ = 0 et, pour tout entier naturel n,

  

  ici aussi, la convergence...

• PICARD ÉMILE (1856-1941)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 1 874 mots
  Onappelle souvent méthode de Picard la méthode des approximations successives, dont les applications sont nombreuses : aux équations aux dérivées partielles (dans le Journal de Liouville de 1890) ; aux équations différentielles (dans une note du 18 mars 1891 au Bulletin de la S.M.F.) ; aux...