CONVERGENCE, mathématiques

Articles

• ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 5 036 mots
  • 1 média
  Limitons-nous maintenant au cas où A est le corps des nombres réels ou des nombres complexes. La série (_*) est dite convergente si elle a un rayon de convergence non nul, c'est-à-dire s'il existe un nombre réel strictement positif R tel que la famille de nombres positifs :

  

  soit sommable...

• DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

  • Écrit par Christian COATMELEC , Encyclopædia Universalis et Maurice ROSEAU
  • 11 635 mots
  Notons que cette notion de convergence est peu habituelle ; car la solution de P est une fonction x ↦ y(x), alors que la solution Y_n de P_n est une suite finie de n + 1 nombres réels. Ainsi, y et Y_n n'appartiennent pas au même espace et nous ne pouvons pas mesurer une distance éventuelle de...

• DISTRIBUTIONS, mathématiques

  • Écrit par Paul KRÉE
  • 4 973 mots
  • 1 média
  ...conditions de continuité qui interviennent dans la définition des distributions peuvent s'exprimer élémentairement en utilisant seulement la notion de suite convergente, sans qu'il soit nécessaire de préciser complètement la topologie des espaces considérés. On se propose ici de montrer comment on peut définir...

• FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
  • 18 453 mots
  • 6 médias
  Pour traiter des problèmes de représentation et d'approximation des fonctions, il est indispensable de préciser ce que l'on entend par l'écart de deux fonctions. Dans les cas les plus simples, on peut définir cet écart à l'aide d'une norme sur l'espace vectoriel E de...

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 12 743 mots
  • 9 médias
  Étudions l'ensemble des nombres complexes z pour lesquels la série (1) est convergente. Posant Z = z − a pour simplifier, on se ramène, par une translation, à une série entière :

  

  de centre O.

• GREGORY JAMES (1638-1675)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 559 mots

  Mathématicien et opticien écossais, James Gregory naît en novembre 1638 à Drumoak, près d’Aberdeen. Il est le fils cadet d’un prêtre de l’Église épiscopalienne d’Écosse. Sa mère (dont un frère, Alexander Anderson, a été l’élève du mathématicien français François Viète) puis son frère David l’initient...

• HARMONIQUE ANALYSE

  • Écrit par René SPECTOR
  • 5 540 mots
  Le problème de la représentation d'une fonction périodique par une série trigonométrique se ramène à l'étude de la convergence de sa série de Fourier. Nous nous contenterons de donner ici quelques-uns des nombreux résultats obtenus dans ce domaine.

• LÉVY PAUL (1886-1971)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 503 mots

  Mathématicien français né et mort à Paris. Ingénieur au corps des Mines, docteur ès sciences en 1912, Paul Lévy enseigna l'analyse à l'École polytechnique de 1920 à 1959, ainsi que l'analyse et la mécanique à l'École nationale supérieure des mines de 1914 à 1951. Il fut élu à l'Académie des sciences...

• MÉTRIQUES ESPACES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 6 080 mots
  • 1 média
  ... assez grand et par suite A ∩ V ≠ o/. Un ensemble A est donc fermé si et seulement s'il contient les limites de toutes ses suites qui sont convergentes dans E ; ainsi, on peut définir les fermés, et par complémentarité les ouverts, à partir de la notion de suite convergente. De même, on montre...

• NOMBRES COMPLEXES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 3 421 mots
  • 2 médias
  ...d'un nombre complexe z_n ; la suite correspondante est alors notée (z_n). On dit qu'une suite (z_n) de nombres complexes tend vers une limite u, ou converge vers u, pour n tendant vers l'infini, si pour tout nombre ε strictement positif, on a :

  

  pour n assez grand, c'est-à-dire sauf pour au plus...

• OSGOOD WILLIAM FOGG (1864-1943)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 506 mots

  Mathématicien américain, né à Boston et mort à Belmont (Massachusetts), William Fogg Osgood a joué un rôle important dans le développement de la recherche aux États-Unis. Osgood est entré au collège de Harvard en 1882 et, à l'exception de quelques années passées dans les universités allemandes,...

• PROBABILITÉS CALCUL DES

  • Écrit par Daniel DUGUÉ
  • 11 838 mots
  • 6 médias
  ...longueur égale à ε/2 et de probabilité maximale pour S_n, S_n − S_n − 1, ..., S_n − S₁ ont l'origine comme point intérieur. On a alors :

  

  cette inégalité a permis d'établir un théorème important, dont il sera question au chapitre 8, sur laconvergence des séries aléatoires.

• SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL
  • 3 056 mots
  On dit que la série A est convergente ou divergente suivant que la suite (s_n) converge ou non. Lorsque la série A est convergente, la limite s de (s_n) s'appelle somme de A et se note encore :

  

  dans ces conditions, pour tout entier naturel n, l'élément r_n = s − s_n s'appelle...

• SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

  • Écrit par Jean-Pierre KAHANE
  • 5 373 mots
  • 1 média
  L'étape décisive est l'admirable mémoire de 1829 où P. G.  Lejeune-Dirichlet donne le premier théorème de convergence de séries de Fourier. Après avoir établi, pour une fonction f monotone et continue entre 0 et h, la formule :