CALCUL INFINITÉSIMALHistoire

L'expression « calcul infinitésimal » désigne habituellement l'ensemble des notations et des méthodes fondamentales du calcul différentiel, du calcul intégral et du calcul des variations, tel qu'il a été mis au point au cours des xvii^e et xviii^e siècles, instrument merveilleux qui ouvrit aux mathématiques des voies nouvelles, aussi vastes que fécondes, et permit d'aborder l'étude théorique des problèmes fondamentaux de la philosophie naturelle. Si cette expression apparaît à la fois claire et commode, son emploi est toujours resté assez limité. Tandis que le premier traité qui s'y rapporte de façon indiscutable, celui du marquis de l'Hôpital (Paris, 1696), porte, en effet, le titre d'Analyse des infiniment petits, Fontenelle, en 1727, parle à son sujet de « géométrie de l'infini », expression que d'Alembert reprend à son tour dans le tome VII de l'Encyclopédie, en la définissant comme « la nouvelle géométrie des infiniment petits, concernant les règles du calcul différentiel et intégral ». L'expression d'« analyse infinitésimale », popularisée par un ouvrage célèbre d'Euler, Introductio in analysis infinitorum (Lausanne, 1748), a été peut-être plus largement diffusée, spécialement au cours du xix^e siècle, avant de céder progressivement la place à celle, plus vague et plus générale, d'analyse mathématique, voire même au simple terme d'analyse. Après avoir longtemps employé l'expression concurrente de « calcul des fluxions » (calculus of fluxions) qui mettait l'accent sur la notation originale introduite par Newton, les Anglais ont pris l'habitude d'employer le terme de calculus.

Dérivées et intégrales

Image graphique des dérivées et des intégrales.La dérivée d'une fonction f(x) est une autre fonction f'(x) qui détermine l'inclinaison ou pente de la droite tangente à la courbe pour toute valeur de x.L'intégrale simple d'une fonction f(x) définie entre deux valeurs, X1 et X2, délimite... 

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Premiers essais

Premières réflexions infinitésimales

Abandonnant ces subtilités de vocabulaire, nous évoquerons maintenant l'ensemble des travaux, des courants d'idées et des réflexions qui, à des titres divers, ont contribué à l'édification de cette branche si importante des mathématiques modernes.

Parmi ces courants, on ne peut ignorer les premières préoccupations d'ordre infinitésimal auxquelles se heurtèrent les Grecs du v^e siècle avant notre ère, soit lors de leur première rencontre avec la notion de nombre incommensurable, soit lors de la formulation des célèbres paradoxes de Zénon d'Élée, qui témoignent des difficultés suscitées par les concepts de divisibilité à l'infini, d'infiniment petit et de limite, envisagés à la fois sur le plan abstrait et sur le plan concret.

Disciple indirect de Zénon, fondateur, avec Leucippe, de l'école atomiste, Démocrite considère que les grandeurs : lignes, surfaces, volumes... sont formées d'éléments indivisibles en nombre fini. La plupart de ses écrits étant perdus, il est impossible de préciser comment il envisageait d'appliquer sa méthode en mathématiques. Archimède lui attribue, toutefois, un rôle essentiel dans la mise au point d'importants résultats de nature infinitésimale concernant certaines aires ou certains volumes.

Vers cette même époque (fin du v^e siècle), Antiphon fit le premier essai d'une méthode infinitésimale de démonstration, qui, perfectionnée spécialement par Eudoxe et par Archimède, fut, au xvii^e siècle, dénommée « méthode d'exhaustion » par Grégoire de Saint-Vincent. Cette première tentative avait pour objet de définir le périmètre d'un cercle comme limite du périmètre d'un polygone régulier inscrit dont le nombre des côtés double indéfiniment ; cette méthode sera d'ailleurs reprise par Archimède de manière beaucoup plus rigoureuse.

Eudoxe et la méthode d'exhaustion

Mais le principal obstacle épistémologique rencontré par les mathématiciens grecs du v^e siècle venait, pour l'essentiel, de l'impossibilité de concevoir alors sous forme abstraite la notion générale de nombre réel. Au iv^e siècle, Eudoxe surmonta cet obstacle en élaborant une figuration concrète de cette notion, la théorie générale des rapports, dont Euclide donne un excellent exposé au livre V de ses Éléments. Mais, bien que les mathématiciens les plus éminents, Archimède en tout premier lieu, aient réussi à utiliser cette théorie avec un sens remarquable de la rigueur, cet emploi exclusif les obligeait à rejeter tout essai d'étude abstraite des problèmes infinitésimaux et à aborder ceux-ci sous une forme exclusivement géométrique. C'est Eudoxe, qui, au témoignage d'Archimède, réussit à présenter sous une forme inattaquable certains raisonnements antérieurement présentés par Démocrite. Le livre XII des Éléments d'Euclide nous offre une version probablement assez fidèle des raisonnements par lesquels Eudoxe triompha de plusieurs problèmes, d'apparence élémentaire, qui relèvent, en fait, du calcul intégral : rapport des aires de deux cercles (égal au rapport des carrés de leurs diamètres), volumes de la pyramide et du cône. La méthode eudoxienne de démonstration par « exhaustion » est parfaitement rigoureuse, mais suppose la connaissance préalable du résultat. Elle tend, en effet, à montrer que celui-ci ne peut être ni inférieur ni supérieur à la valeur supposée, en se fondant sur une proposition qui figure au début du livre X des Éléments d'Euclide : « Deux grandeurs inégales étant données, si l'on retranche de la plus grande une partie plus grande que sa moitié, si l'on retranche du reste une partie plus grande que sa moitié, et si l'on fait toujours la même chose, il restera une certaine grandeur qui sera plus petite que la plus petite des grandeurs proposées. »

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