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CALCUL INFINITÉSIMAL Histoire

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L'expression « calcul infinitésimal » désigne habituellement l'ensemble des notations et des méthodes fondamentales du calcul différentiel, du calcul intégral et du calcul des variations, tel qu'il a été mis au point au cours des xviie et xviiie siècles, instrument merveilleux qui ouvrit aux mathématiques des voies nouvelles, aussi vastes que fécondes, et permit d'aborder l'étude théorique des problèmes fondamentaux de la philosophie naturelle. Si cette expression apparaît à la fois claire et commode, son emploi est toujours resté assez limité. Tandis que le premier traité qui s'y rapporte de façon indiscutable, celui du marquis de l'Hôpital (Paris, 1696), porte, en effet, le titre d'Analyse des infiniment petits, Fontenelle, en 1727, parle à son sujet de « géométrie de l'infini », expression que d'Alembert reprend à son tour dans le tome VII de l'Encyclopédie, en la définissant comme « la nouvelle géométrie des infiniment petits, concernant les règles du calcul différentiel et intégral ». L'expression d'« analyse infinitésimale », popularisée par un ouvrage célèbre d'Euler, Introductio in analysis infinitorum (Lausanne, 1748), a été peut-être plus largement diffusée, spécialement au cours du xixe siècle, avant de céder progressivement la place à celle, plus vague et plus générale, d'analyse mathématique, voire même au simple terme d'analyse. Après avoir longtemps employé l'expression concurrente de « calcul des fluxions » (calculus of fluxions) qui mettait l'accent sur la notation originale introduite par Newton, les Anglais ont pris l'habitude d'employer le terme de calculus.

Premiers essais

Premières réflexions infinitésimales

Abandonnant ces subtilités de vocabulaire, nous évoquerons maintenant l'ensemble des travaux, des courants d'idées et des réflexions qui, à des titres divers, ont contribué à l'édification de cette branche si importante des mathématiques modernes.

Parmi ces courants, on ne peut ignorer les premières préoccupations d'ordre infinitésimal auxquelles se heurtèrent les Grecs du ve siècle avant notre ère, soit lors de leur première rencontre avec la notion de nombre incommensurable, soit lors de la formulation des célèbres paradoxes de Zénon d'Élée, qui témoignent des difficultés suscitées par les concepts de divisibilité à l'infini, d'infiniment petit et de limite, envisagés à la fois sur le plan abstrait et sur le plan concret.

Disciple indirect de Zénon, fondateur, avec Leucippe, de l'école atomiste, Démocrite considère que les grandeurs : lignes, surfaces, volumes... sont formées d'éléments indivisibles en nombre fini. La plupart de ses écrits étant perdus, il est impossible de préciser comment il envisageait d'appliquer sa méthode en mathématiques. Archimède lui attribue, toutefois, un rôle essentiel dans la mise au point d'importants résultats de nature infinitésimale concernant certaines aires ou certains volumes.

Vers cette même époque (fin du ve siècle), Antiphon fit le premier essai d'une méthode infinitésimale de démonstration, qui, perfectionnée spécialement par Eudoxe et par Archimède, fut, au xviie siècle, dénommée « méthode d'exhaustion » par Grégoire de Saint-Vincent. Cette première tentative avait pour objet de définir le périmètre d'un cercle comme limite du périmètre d'un polygone régulier inscrit dont le nombre des côtés double indéfiniment ; cette méthode sera d'ailleurs reprise par Archimède de manière beaucoup plus rigoureuse.

Eudoxe et la méthode d'exhaustion

Mais le principal obstacle épistémologique rencontré par les mathématiciens grecs du ve siècle venait, pour l'essentiel, de l'impossibilité de concevoir alors sous forme abstraite la notion générale[...]

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Autres références

  • ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 1 304 mots

    À une époque où la Norvège était d'une extrême pauvreté par suite des guerres qui l'avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d'une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l'île de Finnøy, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d'Euler...

  • ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)

    • Écrit par Jean ITARD
    • 2 652 mots
    • 2 médias
    ...volumes par excès et défaut en remplaçant chaque couche par un cylindre circonscrit ou inscrit. Il utilisera, pour conclure, le raisonnement appelé, depuis le xviie siècle,« par exhaustion », et qui remonte à Eudoxe. Apparaissent ainsi nos « sommes de Riemann » et nos intégrales définies.
  • BARROW ISAAC (1630-1677)

    • Écrit par Universalis
    • 305 mots

    Mathématicien et théologien anglais qui fut un des précurseurs du calcul infinitésimal. Ordonné ministre anglican en 1668, Isaac Barrow enseigna le grec à l'université de Cambridge (1660-1663) et fut nommé, en 1662, professeur de mathématiques au collège Gresham de Londres. En 1664, il devient professeur...

  • BERNOULLI LES

    • Écrit par Universalis
    • 1 238 mots
    • 1 média
    – Systématisation du calcul infinitésimal. En 1687, Jacques écrit à Leibniz pour lui demander de lui préciser de nombreux points obscurs des premiers fondements du calcul infinitésimal parus dans les Acta eruditorum en 1684. Leibniz, absent de Hanovre, ne répondit qu'en 1690 et la tradition...
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Voir aussi