GROUPES (mathématiques)Groupes classiques et géométrie

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Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la géométrie algébrique et de la géométrie différentielle). Mais, même dans les exposés d'Euclide et de ses continuateurs, bien que l'intérêt se concentre sur les propriétés des figures « classiques » (triangle, rectangle, parallélogramme, cercle, coniques, etc.), les isométries (transformations de l'espace ou du plan conservant les distances) jouent un rôle essentiel, non toujours explicité ; le fait qu'elles forment un groupe était implicitement utilisé bien avant que la notion abstraite de groupe ne se fût dégagée. À partir de 1800 environ, avec le développement de la géométrie projective, on commence à distinguer, parmi les notions géométriques invariantes par isométrie, celles qui sont de nature « descriptive » de celles que l'on qualifie de « métriques », les premières restant invariantes par des transformations plus générales, à savoir celles qui transforment linéairement les coordonnées cartésiennes ; par exemple, dans le plan, au point (x, y) correspond le point (x′, y′) tel que :

C'est ainsi que, par une telle transformation, une médiane d'un triangle se transforme en une médiane du triangle image : la notion de médiane est « descriptive » ; au contraire, une hauteur d'un triangle n'a pas cette propriété : la notion de hauteur est « métrique ». Avec Félix Klein et son «  programme d'Erlangen » (1872), cette distinction s'est précisée, et le concept même de « géométrie » a reçu une définition générale, englobant la géométrie classique (dite aussi « euclidienne »), la géométrie projective, la géométrie conforme, les géométries « non euclidiennes », etc. : une géométrie est l'étude des notions et des proprié [...]

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Jean DIEUDONNÉ, « GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-classiques-et-geometrie/