GROUPES (mathématiques)Groupes classiques et géométrie

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Le groupe orthogonal

On suppose donné sur E un produit scalaire : c'est une application bilinéaire :

de E × E dans R, qui est en outre supposée symétrique, c'est-à-dire que :
et positive non dégénérée, c'est-à-dire que :
pour x ≠ 0 dans E. La donnée d'une telle application définit dans E une notion d'orthogonalité : x, y dans E sont dits orthogonaux si l'on a (x|y) = 0 (relation symétrique en x et y). On dit que deux sous-espaces vectoriels V, W de E sont orthogonaux si tout vecteur de V est orthogonal à tout vecteur de W ; pour un sous-espace vectoriel V donné, l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de V est le plus grand sous-espace vectoriel orthogonal à V ; on l'appelle l'orthogonal de V et on le note V. On a les relations :

L'exemple classique de produit scalaire dans Rn est :

inversement, pour tout produit scalaire (x|y) sur E, il existe une base dite orthonormale (ej) de E telle que :

Un espace vectoriel E muni d'un produit scalaire est ce qu'on appelle un espace euclidien ; sur un même espace vectoriel E, il y a une infinité de produits scalaires non proportionnels, donnant une infinité de structures d'espace euclidien pour lesquelles les notions d'orthogonalité sont distinctes ; toutefois tous ces espaces sont isomorphes, en vertu de l'existence des bases orthonormales. On suppose dans ce qui suit que le produit scalaire est fixé, et on pose ∥x∥ =(x|x)1/2 (longueur du vecteur x).

On appelle similitude de E une transformation linéaire u GL(E) telle que :

quels que soient x, y dans E, où μ = μ(u) est une constante ≠ 0 dite multiplicateur de u ; on a nécessairement μ > 0 comme on le voit en faisant y = x ≠ 0. Si U est la matrice de u rapporté à une base orthonormale, il revient au même de dire que :

Les similitudes forment un sous-groupe GO(E) ⊂ GL(E), et u ↦ μ(u) est un homomorphisme de ce groupe sur le groupe multiplicatif R *+ des nombres réels > 0 ; son noyau O(E) est appelé le groupe orthogonal de E (pour le produit scalaire considéré) ; c'est donc le sous-groupe de GL(E) formé des u tels que :

on peut montrer que c'est aussi le groupe de toute [...]

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Jean DIEUDONNÉ, « GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 juin 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-classiques-et-geometrie/