CONIQUES

L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iii^e siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très complets : le Traité des sections coniques d'Apollonius (né vers 245 avant J.-C.) est un des sommets de la mathématique grecque (cf. école mathématique d'alexandrie).

Le xvii^e siècle allait voir à nouveau se développer la théorie des coniques dans deux directions très différentes. Descartes met en évidence les équations des coniques et reconnaît qu'elles constituent les courbes du second degré, tandis que Pascal et Desargues donnent une impulsion considérable à la géométrie pure en inaugurant l'étude projective des coniques.

De nos jours, les mathématiciens ne se préoccupent plus guère d'enrichir l'herbier un peu vieillot des théorèmes sur les coniques, qui ont été réduites à un chapitre de la théorie des formes quadratiques. Une conique apparaît aujourd'hui comme une courbe non vide du plan projectif, définie par une équation Q(x, y, t) = 0, où Q est une forme quadratique en les coordonnées homogènes x, y, t ; cette définition est la seule qui contienne tous les cas particuliers et elle s'étend immédiatement en dimension supérieure aux quadriques et aux hyperquadriques.

On se limite dans ce qui suit à des résultats purement classiques, en renvoyant à l'article formes quadratiques pour un exposé plus moderne.

Coordonnées

Coordonnées cartésiennes, polaires sphériques et polaires cylindriques.Les coordonnées d'un point constituent l'ensemble des paramètres utilisés pour déterminer la position de ce point par rapport à des éléments fixes. Il existe différents types de systèmes de coordonnées.Dans le... 

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Les sections coniques

Le cône circulaire

Le cercle est la figure conique la plus simple et la plus ancienne ; il a été considéré comme une figure bien avant le couple de droites, pourtant plus simple a priori (de tels couples existent dans toute géométrie, alors que le cercle n'apparaît que dans quelques-unes). On peut alors définir le cône circulaire, ensemble des droites s'appuyant sur un point fixe (le sommet O) et sur un cercle (la base C). Le plus simple de ces cônes est le cône de révolution, où la droite qui joint O au centre de C est perpendiculaire au plan du cercle.

Les sections d'un cône circulaire par un plan sont appelées sections coniques. On peut ainsi obtenir, outre le cercle, des ellipses, des paraboles, des hyperboles et des figures particulières (droites sécantes si le plan passe par le sommet, droites confondues s'il contient de plus une tangente au cercle). Seul échappe à cette définition (conforme à l'étymologie) le cas de deux droites parallèles distinctes. Celui-ci pourra néanmoins venir compléter la famille en application du théorème : Toute section plane d'un cône dont une base est une conique est elle-même une conique ou le plan tout entier.

Ce théorème capital, qui va beaucoup plus loin que la définition grecque (qui ne considérait que certains types de cônes), affirme en quelque sorte que la notion de conique est la notion projective fondamentale, c'est-à-dire la notion invariante dans toute perspective par excellence, si l'on consent naturellement à étudier, dans le plan ou l'espace projectifs, autre chose que des configurations exclusivement formées de droites.

Dans le plan projectif où la notion de droites parallèles ne se différencie pas de celle de droites sécantes (en un point à l'infini), les ellipses, hyperboles et paraboles sont de même nature : ce sont des coniques propres. Deux droites distinctes, deux droites confondues forment les deux sous-familles de coniques décomposées.

Un théorème de Pascal

Citons maintenant un important résultat projectif, le célèbre théorème de Pascal : si A, B, C, D, E, F sont six points d'une conique (décomposée ou non), les points d'intersection de BF et CE, AF et CD, AE et BD sont alignés. Cela permet une construction point par point à partir de cinq points d'une conique. Elle provient de ce que le point d'intersection de deux droites passant par des points fixes dont les pentes sont liées homographiquement décrit une conique ; cette définition, très élémentaire, est peut-être la meilleure de toutes et ramène très simplement à la définition analytique par une forme quadratique. Elle explique, par sa simplicité, pourquoi des coniques interviennent si souvent dans les problèmes élémentaires de géométrie pure ou de mécanique.

Coniques décomposées

Historiquement, c'est pourtant par des considérations affine [...]

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