CONIQUES
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L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iiie siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très complets : le Traité des sections coniques d'Apollonius (né vers 245 avant J.-C.) est un des sommets de la mathématique grecque (cf. école mathématique d'alexandrie).
Le xviie siècle allait voir à nouveau se développer la théorie des coniques dans deux directions très différentes. Descartes met en évidence les équations des coniques et reconnaît qu'elles constituent les courbes du second degré, tandis que Pascal et Desargues donnent une impulsion considérable à la géométrie pure en inaugurant l'étude projective des coniques.
De nos jours, les mathématiciens ne se préoccupent plus guère d'enrichir l'herbier un peu vieillot des théorèmes sur les coniques, qui ont été réduites à un chapitre de la théorie des formes quadratiques. Une conique apparaît aujourd'hui comme une courbe non vide du plan projectif, définie par une équation Q(x, y, t) = 0, où Q est une forme quadratique en les coordonnées homogènes x, y, t ; cette définition est la seule qui contienne tous les cas particuliers et elle s'étend immédiatement en dimension supérieure aux quadriques et aux hyperquadriques.
On se limite dans ce qui suit à des résultats purement classiques, en renvoyant à l'article formes quadratiques pour un exposé plus moderne.
Coordonnées
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Coordonnées cartésiennes, polaires sphériques et polaires cylindriques.Les coordonnées d'un point constituent l'ensemble des paramètres utilisés pour déterminer la position de ce point par rapport à des éléments fixes. Il existe différents types de systèmes de coordonnées.Dans le...
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Les sections coniques
Le cône circulaire
Le cercle est la figure conique la plus simple et la plus ancienne ; il a été considéré comme une figure bien avant le couple de droites, pourtant plus simple a priori (de tels couples existent dans toute géométrie, alors que le cercle n'apparaît que dans quelques-unes). On peut alors définir le cône circulaire, ensemble des droites s'appuyant sur un point fixe (le sommet [...]
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Écrit par :
- André WARUSFEL : universitaire
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Le premier écrit scientifique de Blaise Pascal (1623-1662) – Essai pour les coniques, composé avant qu'il ait atteint l'âge de dix-sept ans et publié à Paris en février 1640 – révèle aux savants de l'époque le génie précoce de son auteur. Adoptant la méthode proposée par Girard Desargues (1591-1661) de considérer les cercles, les el […] Lire la suite
APOLLONIOS DE PERGA (262 av. J.-C.?-? 190 av. J.-C.)
Mathématicien grec de l'école d'Alexandrie, Apollonios de Perga est né probablement vingt-cinq ans après Archimède (donc vers ~ 262) et est mort sous le règne de Ptolémée IV (~ 222-~ 205). La renommée de son ouvrage principal, le Traité des sections coniques , lui valut le surnom de Grand Géomètre. Le traité se compose de huit livres : les quatre premiers nous sont parvenus dans leur texte origina […] Lire la suite
ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)
Dans le chapitre « La mécanique au secours de la géométrie » : […] Les lois du levier étaient connues des disciples d'Aristote, et la balance était depuis des temps immémoriaux un outil de précision. Mais Archimède déduit ces lois, très rigoureusement, d'un nombre réduit de postulats. Si Archimède est inattaquable dans l' Équilibre des plans ou des centres de gravité des plans , c'est surtout grâce à son utilisation du barycentre ou centre de gravité. Pour lui, […] Lire la suite
COURBES TRANSFORMATIONS DE
Dans le chapitre « Degré 2: coniques » : […] Il n'existe, à homographie près, qu'une conique propre (non vide). En effet, ces courbes sont, comme leur nom l'indique, les sections planes non dégénérées du cône de révolution, et sont donc toutes homologues entre elles; en particulier, toutes peuvent être vues comme différentes perspectives d'un même cercle (fig. 10). […] Lire la suite
DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS
Dans le chapitre « Courbes de genre zéro » : […] On dispose ici d'une analyse complète. En ce qui concerne les points rationnels, la démarche est la suivante. Toute courbe de genre zéro peut, par un changement de variables, être ramenée à une conique plane (D. Hilbert-A. Hurwitz, 1891), soit ax 2 + by 2 + c = 0. D'après le théorème de Legendre (cf. supra ), les conditions de congruence permettent de décider si cette conique a un point rat […] Lire la suite
GÉOMÉTRIE
Dans le chapitre « Desargues et Pascal » : […] Le Français Gérard Desargues (1593-1662), ingénieur et architecte, appartient au milieu des praticiens. Il a été en rapport avec les milieux savants de l'époque. Son souci d'une rationalisation et d'une simplification de la perspective par la mise en lumière de nouvelles méthodes géométriques l'amène, en 1639, deux ans après la Géométrie de Descartes, à publier Brouillon projet d'une atteinte des […] Lire la suite
HALPHEN GEORGES-HENRI (1844-1889)
Mathématicien brillant, travailleur acharné, doué d'un profond talent d'algébriste, Georges-Henri Halphen a attaché son nom surtout à des résultats de géométrie analytique. Né à Rouen le 30 octobre 1844, il fut élevé à Paris, reçut sa première formation au lycée Saint-Louis, entra à l'École polytechnique en 1862 et sortit en 1866 comme lieutenant d'artillerie de l'École d'application de Metz. Il p […] Lire la suite
INVARIANT, mathématique
À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax 2 + 2 bxy + cy 2 + 2 ux + 2 vy + w = 0. Comment reconnaître sur leurs coefficients a , b , c , u , v , w et a ', b ', c ', u ', v ', w ' si deux telles équations représent […] Lire la suite
ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences
Dans le chapitre « Déterminations infinitésimales » : […] L'étude des comportements asymptotiques et des objets infinitésimaux représente une part substantielle de la recherche mathématique en arabe. À partir du ix e siècle, les mathématiciens ont engagé la recherche en trois principaux domaines : le calcul des aires et des volumes infinitésimaux ; la quadrature des lunules, les aires et les volumes extrema lors de l'examen du problème isopérimétrique. […] Lire la suite
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Dans le chapitre « Géométrie » : […] À part la géométrie infinitésimale qui sera évoquée plus loin, l'œuvre de Pascal porte essentiellement sur ce qui devait être qualifié plus tard de géométrie projective ; c'est surtout les coniques qu'il a envisagées de ce point de vue. Un texte très bref, Essay pour les coniques , est publié par Pascal, âgé de seize ans, en 1640. Suit un grand Traité des sections coniques dont seul nous est parv […] Lire la suite
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Militaire et mathématicien français né à Metz et mort à Paris. Après avoir été l'élève de Gaspard Monge à l'École polytechnique, Jean Victor Poncelet commença une carrière militaire. Lieutenant du génie, il prit part à la campagne de Russie, où il fut fait prisonnier et relégué à Saratov sur la Volga. Durant son emprisonnement, privé de tout ouvrage scientifique et réduit à ses souvenirs des cours […] Lire la suite
QUADRIQUES
Dans le chapitre « Problèmes tangentiels » : […] Les dix-sept variétés de quadriques donnent une idée assez complète des différentes formes que peuvent prendre les surfaces de l'espace usuel. Paraboloïde hyperbolique et hyperboloïde à une nappe fournissent des exemples très simples de surfaces qui traversent leurs plans tangents (ce qui n'est pas le cas de la sphère ou du cylindre de révolution, par exemple). Une étude assez simple, fondée sur l […] Lire la suite
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Pour citer l’article
André WARUSFEL, « CONIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 août 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/coniques/