CONIQUES
Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis
L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iiie siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très complets : le Traité des sections coniques d'Apollonius (né vers 245 avant J.-C.) est un des sommets de la mathématique grecque (cf. école mathématique d'alexandrie).
Le xviie siècle allait voir à nouveau se développer la théorie des coniques dans deux directions très différentes. Descartes met en évidence les équations des coniques et reconnaît qu'elles constituent les courbes du second degré, tandis que Pascal et Desargues donnent une impulsion considérable à la géométrie pure en inaugurant l'étude projective des coniques.
De nos jours, les mathématiciens ne se préoccupent plus guère d'enrichir l'herbier un peu vieillot des théorèmes sur les coniques, qui ont été réduites à un chapitre de la théorie des formes quadratiques. Une conique apparaît aujourd'hui comme une courbe non vide du plan projectif, définie par une équation Q(x, y, t) = 0, où Q est une forme quadratique en les coordonnées homogènes x, y, t ; cette définition est la seule qui contienne tous les cas particuliers et elle s'étend immédiatement en dimension supérieure aux quadriques et aux hyperquadriques.
On se limite dans ce qui suit à des résultats purement classiques, en renvoyant à l'article formes quadratiques pour un exposé plus moderne.
Coordonnées cartésiennes, polaires sphériques et polaires cylindriques.Les coordonnées d'un point constituent l'ensemble des paramètres utilisés pour déterminer la position de ce point par rapport à des éléments fixes. Il existe différents types de systèmes de coordonnées.Dans le...
Crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.
Les sections coniques
Le cône circulaire
Le cercle est la figure conique la plus simple et la plus ancienne ; il a été considéré comme une figure bien avant le couple de droites, pourtant plus simple a priori (de tels couples existent dans toute géométrie, alors que le cercle n'apparaît que dans quelques-unes). On peut alors définir le cône circulaire, ensemble des droites s'appuyant sur un point fixe (le sommet O) et sur un cercle (la base C). Le plus simple de ces cônes est le cône de révolution, où la droite qui joint O au centre de C est perpendiculaire au plan du cercle.
Les sections d'un cône circulaire par un plan sont appelées sections coniques. On peut ainsi obtenir, outre le cercle, des ellipses, des paraboles, des hyperboles et des figures particulières (droites sécantes si le plan passe par le sommet, droites confondues s'il contient de plus une tangente au cercle). Seul échappe à cette définition (conforme à l'étymologie) le cas de deux droites parallèles distinctes. Celui-ci pourra néanmoins venir compléter la famille en application du théorème : Toute section plane d'un cône dont une base est une conique est elle-même une conique ou le plan tout entier.
Ce théorème capital, qui va beaucoup plus loin que la définition grecque (qui ne considérait que certains types de cônes), affirme en quelque sorte que la notion de conique est la notion projective fondamentale, c'est-à-dire la notion invariante dans toute perspective par excellence, si l'on consent naturellement à étudier, dans le plan ou l'espace projectifs, autre chose que des configurations exclusivement formées de droites.
Dans le plan projectif où la notion de droites parallèles ne se différencie pas de celle de droites sécantes (en un point à l'infini), les ellipses, hyperboles et paraboles sont de même nature : ce sont des coniques propres. Deux droites distinctes, deux droites confondues forment les deux sous-familles de coniques décomposées.
Un théorème de Pascal
Citons maintenant un important résultat projectif, le célèbre théorème de Pascal : si A, B, C, D, E, F sont six points d'une conique (décomposée ou non), les points d'intersection de BF et CE, AF et CD, AE et BD sont alignés. Cela permet une construction point par point à partir de cinq points d'une conique. Elle provient de ce que le point d'intersection de deux droites passant par des points fixes dont les pentes sont liées homographiquement décrit une conique ; cette définition, très élémentaire, est peut-être la meilleure de toutes et ramène très simplement à la définition analytique par une forme quadratique. Elle explique, par sa simplicité, pourquoi des coniques interviennent si souvent dans les problèmes élémentaires de géométrie pure ou de mécanique.
Coniques décomposées
Historiquement, c'est pourtant par des considérations affine [...]
1
2
3
4
5
…
pour nos abonnés,
l’article se compose de 8 pages
Écrit par :
- André WARUSFEL : universitaire
Classification
Autres références
« CONIQUES » est également traité dans :
ESSAI POUR LES CONIQUES (B. Pascal)
Le premier écrit scientifique de Blaise Pascal (1623-1662) – Essai pour les coniques, composé avant qu'il ait atteint l'âge de dix-sept ans et publié à Paris en février 1640 – révèle aux savants de l'époque le génie précoce de son auteur. Adoptant la méthode proposée par Girard Desargues (1591-1661) de considérer les cercles, les el […] Lire la suite
APOLLONIOS DE PERGA (262 av. J.-C.?-? 190 av. J.-C.)
Mathématicien grec de l'école d'Alexandrie, Apollonios de Perga est né probablement vingt-cinq ans après Archimède (donc vers ~ 262) et est mort sous le règne de Ptolémée IV (~ 222-~ 205). La renommée de son ouvrage principal, le Traité des sections coniques , lui valut le surnom de Grand Géomètre. Le traité se compose de huit livres : les quatre premiers nous sont parvenus dans leur texte origina […] Lire la suite
ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)
Dans le chapitre « La mécanique au secours de la géométrie » : […] Les lois du levier étaient connues des disciples d'Aristote, et la balance était depuis des temps immémoriaux un outil de précision. Mais Archimède déduit ces lois, très rigoureusement, d'un nombre réduit de postulats. Si Archimède est inattaquable dans l' Équilibre des plans ou des centres de gravité des plans , c'est surtout grâce à son utilisation du barycentre ou centre de gravité. Pour lui, […] Lire la suite
COURBES TRANSFORMATIONS DE
Dans le chapitre « Degré 2: coniques » : […] Il n'existe, à homographie près, qu'une conique propre (non vide). En effet, ces courbes sont, comme leur nom l'indique, les sections planes non dégénérées du cône de révolution, et sont donc toutes homologues entre elles; en particulier, toutes peuvent être vues comme différentes perspectives d'un même cercle (fig. 10). […] Lire la suite
DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS
Dans le chapitre « Courbes de genre zéro » : […] On dispose ici d'une analyse complète. En ce qui concerne les points rationnels, la démarche est la suivante. Toute courbe de genre zéro peut, par un changement de variables, être ramenée à une conique plane (D. Hilbert-A. Hurwitz, 1891), soit ax 2 + by 2 + c = 0. D'après le théorème de Legendre (cf. supra ), les conditions de congruence permettent de décider si cette conique a un point rat […] Lire la suite
GÉOMÉTRIE
Dans le chapitre « Desargues et Pascal » : […] Le Français Gérard Desargues (1593-1662), ingénieur et architecte, appartient au milieu des praticiens. Il a été en rapport avec les milieux savants de l'époque. Son souci d'une rationalisation et d'une simplification de la perspective par la mise en lumière de nouvelles méthodes géométriques l'amène, en 1639, deux ans après la Géométrie de Descartes, à publier Brouillon projet d'une atteinte des […] Lire la suite
HALPHEN GEORGES-HENRI (1844-1889)
Mathématicien brillant, travailleur acharné, doué d'un profond talent d'algébriste, Georges-Henri Halphen a attaché son nom surtout à des résultats de géométrie analytique. Né à Rouen le 30 octobre 1844, il fut élevé à Paris, reçut sa première formation au lycée Saint-Louis, entra à l'École polytechnique en 1862 et sortit en 1866 comme lieutenant d'artillerie de l'École d'application de Metz. Il p […] Lire la suite
INVARIANT, mathématique
À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax 2 + 2 bxy + cy 2 + 2 ux + 2 vy + w = 0. Comment reconnaître sur leurs coefficients a , b , c , u , v , w et a ', b ', c ', u ', v ', w ' si deux telles équations représent […] Lire la suite
ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences
Dans le chapitre « Déterminations infinitésimales » : […] L'étude des comportements asymptotiques et des objets infinitésimaux représente une part substantielle de la recherche mathématique en arabe. À partir du ix e siècle, les mathématiciens ont engagé la recherche en trois principaux domaines : le calcul des aires et des volumes infinitésimaux ; la quadrature des lunules, les aires et les volumes extrema lors de l'examen du problème isopérimétrique. […] Lire la suite
MACLAURIN COLIN (1698-1746)
Mathématicien écossais, né à Kilmodan, qui a développé et poursuivi l'œuvre de sir Isaac Newton en analyse, en géométrie et en mécanique. Enfant prodige, Colin Maclaurin entra à l'université de Glasgow à l'âge de onze ans. À dix-neuf ans, il fut élu professeur de mathématiques au collège de Marischal, à Aberdeen, et fut élu deux ans plus tard membre de la Royal Society of London. C'est à cette épo […] Lire la suite
Voir aussi
Pour citer l’article
André WARUSFEL, « CONIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 06 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/coniques/