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CONIQUES

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L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iiie siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très complets : le Traité des sections coniques d'Apollonius (né vers 245 avant J.-C.) est un des sommets de la mathématique grecque (cf. école mathématique d'alexandrie).

Le xviie siècle allait voir à nouveau se développer la théorie des coniques dans deux directions très différentes. Descartes met en évidence les équations des coniques et reconnaît qu'elles constituent les courbes du second degré, tandis que Pascal et Desargues donnent une impulsion considérable à la géométrie pure en inaugurant l'étude projective des coniques.

De nos jours, les mathématiciens ne se préoccupent plus guère d'enrichir l'herbier un peu vieillot des théorèmes sur les coniques, qui ont été réduites à un chapitre de la théorie des formes quadratiques. Une conique apparaît aujourd'hui comme une courbe non vide du plan projectif, définie par une équation Q(x, y, t) = 0, où Q est une forme quadratique en les coordonnées homogènes x, y, t ; cette définition est la seule qui contienne tous les cas particuliers et elle s'étend immédiatement en dimension supérieure aux quadriques et aux hyperquadriques.

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On se limite dans ce qui suit à des résultats purement classiques, en renvoyant à l'article formes quadratiques pour un exposé plus moderne.

Les sections coniques

Le cône circulaire

Le cercle est la figure conique la plus simple et la plus ancienne ; il a été considéré comme une figure bien avant le couple de droites, pourtant plus simple a priori (de tels couples existent dans toute géométrie, alors que le cercle n'apparaît que dans quelques-unes). On peut alors définir le cône circulaire, ensemble des droites s'appuyant sur un point fixe (le sommet O) et sur un cercle (la base C). Le plus simple de ces cônes est le cône de révolution, où la droite qui joint O au centre de C est perpendiculaire au plan du cercle.

Les sections d'un cône circulaire par un plan sont appelées sections coniques. On peut ainsi obtenir, outre le cercle, des ellipses, des paraboles, des hyperboles et des figures particulières (droites sécantes si le plan passe par le sommet, droites confondues s'il contient de plus une tangente au cercle). Seul échappe à cette définition (conforme à l'étymologie) le cas de deux droites parallèles distinctes. Celui-ci pourra néanmoins venir compléter la famille en application du théorème : Toute section plane d'un cône dont une base est une conique est elle-même une conique ou le plan tout entier.

Ce théorème capital, qui va beaucoup plus loin que la définition grecque (qui ne considérait que certains types de cônes), affirme en quelque sorte que la notion de conique est la notion projective fondamentale, c'est-à-dire la notion invariante dans toute perspective par excellence, si l'on consent naturellement à étudier, dans le plan ou l'espace projectifs, autre chose que des configurations exclusivement formées de droites.

Dans le plan projectif où la notion de droites parallèles ne se différencie pas de celle de droites sécantes (en un point à l'infini), les ellipses, hyperboles et paraboles sont de même nature : ce sont des coniques propres. Deux droites distinctes, deux droites confondues forment les deux sous-familles de coniques décomposées.

Un théorème de Pascal

Citons maintenant un important résultat projectif, le célèbre théorème de Pascal : si A, B, C, D, E, F sont six points d'une conique (décomposée ou non), les points d'intersection de BF et CE, AF et CD, AE et BD sont alignés. Cela permet une construction point par point à partir de cinq points d'une[...]

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Pour citer cet article

Encyclopædia Universalis et André WARUSFEL. CONIQUES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

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Parabole

Diamètres de la parabole - crédits : Encyclopædia Universalis France

Diamètres de la parabole

Autres références

  • ESSAI POUR LES CONIQUES (B. Pascal)

    • Écrit par
    • 199 mots
    • 1 média

    Le premier écrit scientifique de Blaise Pascal (1623-1662) – Essai pour les coniques, composé avant qu'il ait atteint l'âge de dix-sept ans et publié à Paris en février 1640 – révèle aux savants de l'époque le génie précoce de son auteur. Adoptant la méthode proposée par Girard Desargues (1591-1661)...

  • APOLLONIOS DE PERGA (262 av. J.-C.?-? 190 av. J.-C.)

    • Écrit par
    • 410 mots

    Mathématicien grec de l'école d'Alexandrie, Apollonios de Perga est né probablement vingt-cinq ans après Archimède (donc vers ~ 262) et est mort sous le règne de Ptolémée IV (~ 222-~ 205). La renommée de son ouvrage principal, le Traité des sections coniques, lui valut le surnom...

  • ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)

    • Écrit par
    • 2 652 mots
    • 2 médias
    ...homogènes géométriquement définissables. Nous arrivons d'ailleurs ici à un tournant décisif. Nous ne connaissons encore que le mécanicien, l'ingénieur. Mais voilà qu'étudiant « la section du cône droit » – c'est ainsi qu'il appelait la parabole – il voit dans l'équation ...
  • COURBES TRANSFORMATIONS DE

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    • 34 médias

    Toute courbe peut être considérée comme une transformée de la plus simple d'entre elles, à savoir la droite, et les courbes sont donc toutes des transformées les unes des autres. Nous allons présenter dans cet article les plus classiques de ces transformations, en commençant par les plus simples. Cela...

  • DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

    • Écrit par , et
    • 6 121 mots
    • 1 média
    La résolution en entiers de :
    équation de conique à coefficients entiers, n'est intéressante que dans les cas parabolique ou hyperbolique. L'étude en a été faite par Euler et Lagrange. Dans le cas elliptique, en effet, il n'y a qu'un nombre fini (éventuellement nul) de solutions, qu'on peut déterminer...
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