GROUPES (mathématiques)Groupes classiques et géométrie

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Les groupes orthogonaux des formes non positives

Dans le chapitre 2, on peut remplacer, au départ, le produit scalaire par une forme bilinéaire symétrique non dégénérée quelconque Φ(x, y) ; pour une telle forme, il existe toujours au moins une base (dite adaptée à Φ) telle que :

et le nombre p est le même pour toutes les bases adaptées (« loi d'inertie ») ; on dit que (p, n − p) est la signature de Φ ; un produit scalaire est donc une forme de signature (n, 0).

La différence fondamentale entre le cas 1 < n et les cas p = n et p = 0 réside dans l'existence de vecteurs ≠ 0 tels que Φ(x, x) = 0, dits vecteurs isotropes (leur ensemble est appelé cône isotrope de E). Plus généralement, il y a des sous-espaces V ≠ {0} tels que la restriction de Φ à V soit identiquement nulle ; on dit que ces espaces sont totalement isotropes et leur dimension maximale est :

appelée indice de Witt de Φ. On définit comme dans le chapitre 2 les notions de vecteurs orthogonaux (pour Φ) et de sous-espaces orthogonaux ; on a encore entre V et son orthogonal V les mêmes relations, sauf les relations (équivalentes) V ∩ V = {0} et V + V = E ; si V ∩ V ≠ {0}, on dit que V est un sous-espace isotrope. Dire que V ⊂ V signifie que V est totalement isotrope ; pour tout sous-espace V, V ∩ V est totalement isotrope et c'est, en fait, le plus grand sous-espace totalement isotrope contenu dans V ou V.

Ces notions d'« orthogonalité » relatives à Φ ont une traduction plus familière (tout au moins pour n = 4) en géométrie projective ; si P(E) est l'espace projectif (de dimension n − 1) associé à E, l'image Q dans P(E) du cône isotrope d'équation Φ(xx) = 0 est appelée quadrique (ou hyperquadrique) projective non dégénérée ; si x et y sont deux vecteurs ≠ 0 dans E, orthogonaux pour Φ, on dit que les images de Rx et Ry sont des points de P(E) conjugués par rapport à Q. Si D est une droite de E et H = D l'hyperplan orthogonal pour Φ, on dit que le point de P(E) correspondant à D est le pôle de l'hyperplan projectif correspondant à H et que ce dernier est l'hyperplan polaire de ce point (par rapport à Q). Un sous-espace isotrope de E a pour image une variété projective tangente à Q et un sous-espace totalement isotrope a pour image une variété projective contenue dans Q (de dimension projective v − 1 ; pour n = 4, v = 2, ce sont les génératrices de Q).

On définit les similitudes et les transformations orthogonales relatives à Φ en remplaçant, dans les définitions du chapitre 2, le produit scalaire par Φ(x, y) ; on note GO(Φ) [resp. O(Φ)] le groupe des similitudes [resp. le groupe orthogonal] relatif à Φ ; on a GO(− Φ) = GO(Φ). La loi d'inertie montre que le multiplicateur μ(u) d'une similitude est nécessairement > 0 sauf si n est pair et p = n/2 ; sauf dans ce dernier cas, GO(Φ) est produit direct de O(Φ) et de Z+(E) ; si p = n/2, ce produit direct est un sous-groupe d'indice 2 (non facteur direct) dans GO(Φ).

Si on rapporte E à une base adéquate pour Φ, la matrice U d'une similitude relative à Φ est caractérisée par la relation :

on a donc (det U)2 = μn, et en particulier, det U = ± 1 pour une transformation orthogonale ; on définit comme dans le chapitre 2 le groupe des rotations O+(Φ) ; sauf lorsque n est pair et p = n/2, on dit que le sous-groupe d'indice 2 dans GO(Φ),
est formé de similitudes directes (les autres étant dites inverses). Pour n = 2 p, le groupe GO+(Φ) des similitudes directes est défini comme formé des similitudes u telles que det(u) = (μ(u))p ; il contient le produit direct précédent, qui en est un sous-groupe d'indice 2.

Le groupe O(Φ) relatif au cas n = 4, p = 3 joue un rôle fondamental en relativité restreinte et est connu sous le nom de groupe de Lorentz (le cône isotrope étant alors souvent appelé « cône de lumière »).

Nous supposons dans tout ce qui suit que 1 ≤ ≤ n − 1 ; on peut d'ailleurs supposer  n/2 pour l'étude de GO(Φ).

Générateurs de O(Φ)

Les involutions de O(Φ) se caractérisent comme ci-dessus (cf. Générateurs du groupe orthogonal, in chap. 2) ; mais, comme V+ et V- doivent être orthogonaux et tels que V+ + V- = E, ce sont nécessairement des espaces non isotropes. Si n = dim E, il est encore exact que toute transformation orthogonale est produit de n réflexions orthogonales au plus et que toute rotation est produit d'un nombre fini de renversements. Le centre Z0 de O(Φ) est le même que dans le cas euclidien, et on a Z0 ⊂ O+(Φ) si n est pair, O(Φ) = Z× O+(Φ) si n est impair.

Propriétés de transitivité

Les propriétés de tra [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 13 pages

Médias de l’article

Dilatation

Dilatation
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Transvection

Transvection
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Simplicité du groupe O+

Simplicité du groupe O+
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Afficher les 3 médias de l'article


Écrit par :

Classification

Autres références

«  GROUPES, mathématiques  » est également traité dans :

GROUPES (mathématiques) - Vue d'ensemble

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 774 mots

Les idées de symétrie et de régularité se retrouvent dans toutes les civilisations, bien avant que ne fût conçue la notion de groupe : par exemple, presque tous les groupes discrets de déplacements du plan (il y en a dix-sept types non isomorphes) sont sous-jacents aux multiples ornements géométriques imaginés par les artistes arabes. […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Généralités

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 229 mots
  •  • 1 média

On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés aussi ailleurs, notamment en cristallographie, en chimie, e […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 5 062 mots

Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 3 760 mots

Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux classer les représentations linéaires, sont vitaux pour […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 10 814 mots
  •  • 2 médias

La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les […] Lire la suite

ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 7 218 mots

Dans le chapitre « La structure de groupe »  : […] La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et H. Poincaré a pu dire que la notion de groupe préexiste dans notre esprit car la géométrie ne se c […] Lire la suite

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 34 159 mots

Dans le chapitre « Espèce de structure de groupe-gradué de type A »  : […] Soit G  = (E,  l ) un groupe. Une famille de sous-groupes de G est une application f d'un ensemble A dans P (E) telle que, pour tout élément λ de A, ( f  (λ),  l | f  (λ) ) =  G λ soit un sous-groupe de G . Une graduation de type A sur G est une famille f de sous-groupes distingués de G telle que G soit produit direct de ses sous-groupes G λ i  = ( f  (λ i ),  l | f  (λ i ) ), i apparte […] Lire la suite

BOREL ARMAND (1923-2003)

  • Écrit par 
  • Pierre CARTIER
  •  • 791 mots

En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation des idées nouvelles ». En effet, il excellait tant dans la recherche fondamentale que dans l'animation et l'o […] Lire la suite

BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 394 mots

Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches jusqu'en 1885. Dans son premier article, daté de 1883, il étudie certaines propriétés des fonctions ell […] Lire la suite

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 1 403 mots

Dans le chapitre « Une production considérable »  : […] La production de Cauchy a été considérable ; même ses contemporains lui reprochaient à juste titre sa hâte inconsidérée à livrer souvent à l'impression des débauches indignes de son génie, et il y a évidemment un déchet non négligeable dans le demi-millier de notes qu'il a publiées aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Il n'en est pas moins vrai que, même en faisant abstraction de ses tr […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 janvier 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-classiques-et-geometrie/