MÉTRIQUES ESPACES

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La notion d'espace métrique, introduite en 1906 par M. Fréchet et développée peu après par F. Hausdorff, est directement issue d'une analyse des principales propriétés de la distance usuelle. L'extension aux espaces métriques des propriétés de l'espace euclidien qui sont définissables à partir de la distance seule introduit un langage géométrique dans de nombreuses questions d'analyse et de théorie des nombres. C'est ainsi que l'on définit, à partir des boules, les ouverts. Par la manière naturelle dont s'introduisent les voisinages et les notions de limite et de continuité, l'étude des espaces métriques est une excellente introduction à la topologie générale.

Distances

L'analyse des principales propriétés de la distance entre deux points dans l'espace euclidien conduit à la définition axiomatique suivante. On appelle distance sur un ensemble E une application d de E × E dans l'ensemble R+ des nombres réels positifs ou nul telle que, quels que soient les éléments x, y et z de E, on ait :

cette dernière condition est appelée inégalité triangulaire car elle est la généralisation de la classique inégalité entre les longueurs des côtés d'un triangle.

Un ensemble E muni d'une distance s'appelle un espace métrique. Si (E, d) et (E′, d′) sont deux espaces métriques, une bijection f de E sur E′ sera dite une isométrie si elle conserve la distance, c'est-à-dire si d′(f(x), (y)) = d(xy) quels que soient xy ∈ E ; deux espaces métriques sont dits isométriques s'il existe une telle isométrie de l'un sur l'autre et présentent alors, « par transport » au moyen de cette isométrie, des propriétés semblables.

Exemples

On verra dans ce qui suit que la notion d'espace métrique recouvre un matériau mathématique très varié. Comme exemple extrême, remarquons que tout ensemble peut être muni de la distance, dite triviale, définie par d(xx) = 0, d(xy) = 1 si x y. Si E est un espace métrique de distance d, tout sous-ensemble A de E est un espace métrique, dit sous-espace métrique de E pour la distance induite d′ définie par d′(xy) = d(xy), x∈ A.

Une classe très importante d'espaces métriques est constituée par les espaces vectoriels normés, en définissant ici la distance de deux éléments x et y comme la norme de leur différence, soit :

la distance ainsi obtenue est invariante pour les translations de l'espace vectoriel, c'est-à-dire d(x − a, y − a) = d(xy) quels que soient les éléments x, y et a. Nous renvoyons à l'article espaces vectorielsnormés pour de nombreux exemples, relatifs à l'analyse fonctionnelle notamment, et mentionnerons seulement ici les trois distances suivantes, qui sont déduites des normes correspondantes, sur R2 :
x = (x1, x2), y = (y1, y2). Ces distances vérifient les inégalités :
dont on verra des conséquences plus bas. Si (E, δ) et (E′, δ′) sont des espaces métriques, on peut utiliser ce qui précède pour définir des distances δi sur le produit cartésien E × E′, en posant :
i = 1, 2, 3, et où les di sont les distances sur R2 ci-dessus.

Les espaces vectoriels normés sont les espaces métriques dont les propriétés « ressemblent le plus » à celles des espaces numériques habituels. Donnons maintenant des exemples qui ne rentrent pas dans ce cas.

– La droite numérique achevée. Désignons par R− la droite numérique achevée, R− = ∪ {− ∞} ∪ {+ ∞}, qui est obtenue en adjoignant à l'ensemble R des nombres réels deux nouveaux éléments, que l'on désigne traditionnellement par − ∞ et + ∞ vu le rôle qu'ils jouent en analyse, et remarquons que l'application f, définie par :

réalise une bijection de R− sur le segment [− 1, + 1]. On peut donc transporter la distance usuelle sur R, en définissant une distance d sur R− par :
bien entendu f est une isométrie de R−, muni de cette distance d, sur le segment fermé [− 1, 1] muni de la distance habituelle, puisqu'on a fait exactement ce qu'il fallait pour cela !

− Distances p-adiques sur Q. En théorie des nombres, on associe à tout nombre premier p une distance sur l'ensemble Q des nombres rationnels de la manière suivante. Pour tout entier n strictement positif, soit v(n) sa valuation p-adique, c'est-à-dire l'exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers ; ainsi v(n) = 0 pour n non divisible par p et v(nn′) = v(n) + v(n′). Prolongeons alors v à l'ensemble Q* des rationnels non nuls en remarquant que si x = ± r/s, alors v(x) =  [...]

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « MÉTRIQUES ESPACES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-metriques/