NORMÉS ESPACES VECTORIELS

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Écrit par :

  • : maître assistant à la faculté des sciences de Marseille-Luminy
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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«  NORMÉS ESPACES VECTORIELS  » est également traité dans :

ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
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Dans le chapitre « Espaces vectoriels normés et espaces vectoriels topologiques »  : […] Un espace vectoriel normé sur le corps K des nombres réels ou des nombres complexes est un espace vectoriel E sur lequel est définie une fonction x  → ∥ x ∥, à valeurs réelles positives, possédant les propriétés suivantes, qui généralisent celle de la longueur d'un vecteur dans les espaces de dimension finie : a ) ∥ x ∥ = 0 si et seulement si x  = 0 ; b ) ∥ x  +  y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥, pour x , y que […] Lire la suite

BANACH STEFAN (1892-1945)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
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Dans le chapitre « La dualité topologique »  : […] Le nom de Banach restera lié aux espaces vectoriels normés complets, appelés par lui espaces du type (B) et universellement dénommés de nos jours «  espaces de Banach » (terminologie introduite par M. Fréchet en 1928). La notion d'espace normé général apparaît pour la première fois dans les travaux de Hahn et de Banach vers 1920 et s'épanouit sous l'influence de Banach et de ses élèves ; le livre […] Lire la suite

CONVEXITÉ - Ensembles convexes

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Dans le chapitre « Aspects qualitatifs »  : […] Contrairement à ce qui précède, les espaces considérés ici sont quelconques, et non nécessairement de dimension finie. La convexité intervient de manière essentielle dans les espaces vectoriels de l'analyse : espaces vectoriels normés, ou plus généralement espaces vectoriels topologiques localement convexes, c'est-à-dire où tout point a un système fondamental de voisinages convexes ; on se limite […] Lire la suite

HILBERT ESPACE DE

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Dans le chapitre « Théorie élémentaire »  : […] L'étude des espaces hermitiens de dimension finie repose sur le théorème qui suit. Théorème 3. Tout espace hermitien de dimension finie admet au moins une base orthonormale. La démonstration s'effectue par récurrence sur la dimension de l'espace hermitien E. Soit donc E un espace hermitien de dimension strictement positive  n . Choisissons un vecteur unitaire  e 1 . L'ensemble H des vecteurs ortho […] Lire la suite

MÉTRIQUES ESPACES

  • Écrit par 
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Dans le chapitre « Exemples »  : […] On verra dans ce qui suit que la notion d'espace métrique recouvre un matériau mathématique très varié. Comme exemple extrême, remarquons que tout ensemble peut être muni de la distance, dite triviale , définie par d ( x ,  x ) = 0, d ( x ,  y ) = 1 si x ≠ y. Si E est un espace métrique de distance d , tout sous-ensemble A de E est un espace métrique, dit sous-espace métrique de E pour la distan […] Lire la suite

SPECTRALE THÉORIE

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL, 
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Dans le chapitre « Applications linéaires compactes »  : […] Historiquement, la notion d' application linéaire compacte s'est introduite sous le nom d'application complètement continue : étant donné deux espaces vectoriels normés E et F, une application linéaire u de E dans F est dite complètement continue si de toute suite bornée ( x n ) d'éléments de E on peut extraire une suite ( y p ) telle que la suite ( u ( y p )) soit convergente dans F. F.  Riesz […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Robert ROLLAND, Jean-Luc VERLEY, « NORMÉS ESPACES VECTORIELS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-vectoriels-normes/