Topologie


ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 7 157 mots

Dans le chapitre « Algèbre topologique »  : […] La continuité des opérations algébriques est d'usage courant dans l'analyse classique ; depuis le début du xix e siècle, en liaison avec l'introduction des nouveaux êtres mathématiques considérés plus haut, les mathématiciens allaient rencontrer dans de nombreux problèmes de nature variée des ensembles munis d'une notion de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/4-algebre-topologique/

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 542 mots

Dans le chapitre « L'avènement de la théorie des ensembles et de la topologie »  : […] La notion de limite est la base même du calcul infinitésimal ; mais, bien que certains d'entre eux, dont d'Alembert, aient approché d'une définition pour nous correcte, les mathématiciens du xviii e siècle étaient hors d'état de développer une théorie mathématique rigoureuse du « calcul », sur le modèle de la géométrie grecque, et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/4-l-avenement-de-la-theorie-des-ensembles-et-de-la-topologie/

COMPACITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 024 mots

La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/compacite-mathematique/#i_0

CONNEXITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 983 mots

L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels , et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si I est un segment. Mais la plus […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/connexite-mathematique/#i_0

CONTINUITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 245 mots

L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie axiomatique des espaces topologiques ont été établis, c'est-à-dire […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/continuite-mathematique/#i_0

FONDEMENTS DE LA TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE (H. Poincaré)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 201 mots
  •  • 1 média

Henri Poincaré (1854-1912) est considéré comme l'inventeur de la topologie algébrique et différentielle. L'Analysis situs, ou géométrie de situation, qu'il développe à partir de 1894, alors qu'il est professeur à la Sorbonne et à l'École polytechnique, concerne les propriétés invariantes d'une figure déformée de façon continue. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fondements-de-la-topologie-algebrique/#i_0

LIMITE (mathématique)

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 169 mots

La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de nombres réels , puis en 1823 par le mathématicien […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/limite/#i_0

MÉTRIQUES ESPACES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 093 mots
  •  • 2 médias

La notion d'espace métrique, introduite en 1906 par M. Fréchet et développée peu après par F. Hausdorff, est directement issue d'une analyse des principales propriétés de la distance usuelle. L'extension aux espaces métriques des propriétés de l'espace euclidien qui sont définissables à partir de la distance seule introduit un langage géométrique […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-metriques/#i_0

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 872 mots

L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xxe siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales . Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, ainsi que des formes […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-vectoriels-normes/#i_0

NŒUDS (THÉORIE DES)

  • Écrit par 
  • Jean BRETTE
  •  • 1 911 mots
  •  • 11 médias

Depuis le xixe siècle, les mathématiciens étudient les nœuds, et des objets voisins comme les chaînes ou les tresses, afin de comprendre leur géométrie, de les comparer et de les classer. Nœuds, chaînes, tresses et polynômes Intuitivement et mathématiquement, deux nœuds sont dits équivalents si l'on […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/noeuds-theorie-des/#i_0

NŒUDS ET TRESSES (mathématiques)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 376 mots

La théorie mathématique des nœuds et des tresses naquit de l'idée du physicien britannique William Thomson, aussi connu sous le nom de lord Kelvin, qui en 1869 proposa de décrire la matière à partir de tubes d'éther tressés. Son collaborateur Peter Guthrie Tait entreprit dès 1876 de classifier tous les nœuds. Il définit d'abord les diagrammes de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/noeuds-et-tresses/#i_0

RUBAN DE MÖBIUS (topologie)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 187 mots
  •  • 1 média

Dans un mémoire, présenté à l'Académie des sciences mais qui ne fut découvert qu'après sa mort, August Ferdinand Möbius (1790-1868) discute les propriétés de surfaces unilatères, c'est-à-dire n'ayant qu'une seule face et une seule frontière. Il cite en particulier le paradoxal ruban qui porte son nom et qu'il a étudié en 1858 alors qu'il répondait […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ruban-de-mobius/#i_0

SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

  • Écrit par 
  • Alain CHENCINER
  •  • 9 860 mots
  •  • 27 médias

De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de rang maximal, des points où un espace […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/#i_0

THÉORIE DES ESPACES TOPOLOGIQUES ET MÉTRIQUES

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 416 mots

Le mathématicien allemand Felix Hausdorff a longtemps hésité entre les carrières musicale, littéraire et scientifique ; sa pièce de théâtre satirique écrite en 1904 a même rencontré un certain succès puisqu'elle sera jouée plusieurs centaines de fois jusqu'en 1930. À partir de 1902, il est à la fois enseignant dans une école de commerce et à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-espaces-topologiques-et-metriques/#i_0

TOPOLOGIE - Topologie algébrique

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 8 149 mots
  •  • 1 média

Inventée au début du xxe siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l'introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l'exposé, on a décomposé cet article en deux parties. Dans la première partie […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-algebrique/#i_0

TOPOLOGIE - Topologie générale

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 4 181 mots
  •  • 4 médias

Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M0M varie continûment et, si M tend […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-generale/#i_0

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 9 840 mots
  •  • 13 médias

On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B. Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde ; elle fut longuement développée par les […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/#i_0


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Bande de Möbius

Bande de Möbius

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Découpage d'une bande de Möbius suivant une ligne située au milieu de la largeur ou suivant une ligne située au tiers de la largeur… 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Sphère de Riemann

Sphère de Riemann

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Géométrie de la sphère de Riemann… 

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Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)

Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)

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Variation d'un vecteur par transport parallèle le long d'une courbe fermée : cas du demi-plan de Lobatchevski. 

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Géométrie de Lobatchevski

Géométrie de Lobatchevski

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Géométrie de Lobatchevski… 

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Carte de la sphère S2

Carte de la sphère S2

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Cartes de la sphère S2… 

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Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)

Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)

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Variation d'un vecteur par transport parallèle le long d'une courbe fermée : cas de la sphère de Riemann. 

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Courbe de longueur minimum

Courbe de longueur minimum

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Propriétés d'une courbe de longueur minimum… 

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Cylindre et bande de Möbius

Cylindre et bande de Möbius

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Construction d'un cylindre et d'une bande de Möbius par recollement d'une bande de papier… 

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Espace projectif réel P2 (R)

Espace projectif réel P 2  (R)

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Topologie de l'espace projectif réel P2 R)(… 

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Tangente à une courbe

Tangente à une courbe

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Définition de la tangente à une courbe. 

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Espaces topologiques : recollement

Espaces topologiques : recollement

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Recollement des espaces topologiques. 

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Comment faire un nœud de trèfle

Comment faire un nœud de trèfle

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Comment faire un nœud de trèfle. Le nœud de trèfle peut être obtenu en recollant les extrémités supérieures et inférieures de cette tresse à deux brins. 

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Nœud de trèfle et nœud en huit

Nœud de trèfle et nœud en huit

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Nœud de trèfle et nœud en huit. Les variantes droite et gauche du nœud de trèfle ne sont pas équivalentes. Par contre, celles du nœud en huit le sont; un tel nœud est dit réflexif. 

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Déformation des nœuds

Déformation des nœuds

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Les trois premiers nœuds sont équivalents. Le passage de a à b se fait dans le plan par déformation des brins; celui de a à c requiert l'espace; le nœud d ne leur est pas équivalent. 

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Exemples du calcul du polynôme HOMFLY

Exemples du calcul du polynôme HOMFLY

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Deux exemples du calcul du polynôme HOMFLY. a) Polynômes de cercles séparés; b) Polynôme du nœud de trèfle droit. 

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Produit de deux nœuds

Produit de deux nœuds

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Le produit de deux nœuds. 

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Exemples d'états du nœud de trèfle

Exemples d'états du nœud de trèfle

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Deux exemples d'états du nœud de trèfle. Il en existe 6 autres. 

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Premiers nœuds de la classification de Tait

Premiers nœuds de la classification de Tait

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Les premiers nœuds de la classification de Tait. 

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Relation de Conway

Relation de Conway

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La relation de Conway. Si les nœuds ou chaînes N+, N- et N0 ne diffèrent qu'en un seul croisement, comme indiqué ici, leurs polynômes d'Alexander sont liés par la relation: ?(N+) - ?(N-) + (t1/2 - t-1/2) ? (N0)... 

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Régions associées à un croisement et états correspondants

Régions associées à un croisement et états correspondants

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Les régions associées à un croisement, et les deux états correspondants.… 

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Mouvements de Reidemeister

Mouvements de Reidemeister

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Les mouvements de Reidemeister. Deux diagrammes représentent le même nœud si et seulement si l'on peut passer de l'un à l'autre à l'aide d'un nombre fini de mouvements de type I, II ou III."… 

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Nœud trivial

Nœud trivial

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Le nœud trivial. Ces diagrammes possèdent 0, 1 ou 2 croisements, mais ils correspondent en fait au même et unique nœud: le nœud trivial, d'ordre 0; il n'existe donc pas de nœud d'ordre 1 ou 2. 

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Complexes simpliciaux

Complexes simpliciaux

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Exemples de complexes simpliciaux… 

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Point de non-transversalité

Point de non-transversalité

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Exemple de point de non-transversalité. 

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Déploiement universel de l'ombilic elliptique

Déploiement universel de l'ombilic elliptique

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Déploiement universel de l'ombilic elliptique. 

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Pli et fronce

Pli et fronce

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Germes d'applications stables de R2 dans R2 : pli en a, fronce en b. 

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Stabilité d'une famille transverse

Stabilité d'une famille transverse

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Stabilité d'une famille transverse. 

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable, de la forme f(x) = a + bx2

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Fibration de Milnor

Fibration de Milnor

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Fibration de Milnor. 

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Déploiement universel de x vers x3

Déploiement universel de x vers x3

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Déploiement universel de x → x3

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Cusp

Cusp

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Déploiement universel de x → x4 (cusp). 

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Déformation universelle d'un point épais

Déformation universelle d'un point épais

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Déformation universelle d'un point « épais » d'équation x3 = 0. 

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Élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction

Élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction

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Modèle géométrique d'élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction. 

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Caractère universel d'une famille transverse

Caractère universel d'une famille transverse

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Caractère universel d'une famille transverse. 

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Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique

Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique

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Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique. 

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Théorème du nice range

Théorème du nice range

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Le théorème dit « The nice range ». 

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Théorème de déformation verselle

Théorème de déformation verselle

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Démonstration du théorème de déformation verselle. 

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Déformation continue d'un germe

Déformation continue d'un germe

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Problèmes liés à la définition d'une déformation continue d'un germe. 

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Queue d'aronde

Queue d'aronde

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Déploiement universel de x → x5 (queue d'aronde). 

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Construction de l'application DA(e)

Construction de l'application DA(e)

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Construction de l'application DA(e). 

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Orbite de codimension 1

Orbite de codimension 1

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Exemple d'orbite de codimention 1 de Ca (N, R) formée de fonctions de Morse ayant deux valeurs critiques égales. 

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Construction de la courbe de Peano

Construction de la courbe de Peano

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Construction de la célèbre courbe de Peano… 

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Bande de Möbius

Bande de Möbius
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Sphère de Riemann

Sphère de Riemann
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Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)

Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)
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Géométrie de Lobatchevski

Géométrie de Lobatchevski
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Carte de la sphère S2

Carte de la sphère S2
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Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)

Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)
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Courbe de longueur minimum

Courbe de longueur minimum
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Cylindre et bande de Möbius

Cylindre et bande de Möbius
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Espace projectif réel P 2  (R)

Espace projectif réel P2 (R)
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Tangente à une courbe

Tangente à une courbe
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Espaces topologiques : recollement

Espaces topologiques : recollement
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Comment faire un nœud de trèfle

Comment faire un nœud de trèfle
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Nœud de trèfle et nœud en huit

Nœud de trèfle et nœud en huit
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Déformation des nœuds

Déformation des nœuds
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Exemples du calcul du polynôme HOMFLY

Exemples du calcul du polynôme HOMFLY
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Produit de deux nœuds

Produit de deux nœuds
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Exemples d'états du nœud de trèfle

Exemples d'états du nœud de trèfle
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Premiers nœuds de la classification de Tait

Premiers nœuds de la classification de Tait
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Relation de Conway

Relation de Conway
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Régions associées à un croisement et états correspondants

Régions associées à un croisement et états correspondants
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Mouvements de Reidemeister

Mouvements de Reidemeister
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Nœud trivial

Nœud trivial
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Complexes simpliciaux

Complexes simpliciaux
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Point de non-transversalité

Point de non-transversalité
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Déploiement universel de l'ombilic elliptique

Déploiement universel de l'ombilic elliptique
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Pli et fronce

Pli et fronce
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Stabilité d'une famille transverse

Stabilité d'une famille transverse
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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Jets d'une fonction quadratique d'une variable
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Fibration de Milnor

Fibration de Milnor
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Déploiement universel de x vers x3

Déploiement universel de x vers x3
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Cusp

Cusp
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Déformation universelle d'un point épais

Déformation universelle d'un point épais
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Élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction

Élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction
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Caractère universel d'une famille transverse

Caractère universel d'une famille transverse
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Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique

Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique
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Théorème du nice range

Théorème du nice range
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Théorème de déformation verselle

Théorème de déformation verselle
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Déformation continue d'un germe

Déformation continue d'un germe
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Queue d'aronde

Queue d'aronde
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Construction de l'application DA(e)

Construction de l'application DA(e)
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Orbite de codimension 1

Orbite de codimension 1
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Construction de la courbe de Peano

Construction de la courbe de Peano
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