Topologie

Articles

  • SULLIVAN DENNIS (1941- )

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 737 mots
    • 1 média

    Le mathématicien américain Dennis Sullivan est en 2022 le lauréat du prix Abel, décerné chaque année depuis 2003 par l’Académie norvégienne des sciences pour couronner l’œuvre d’un mathématicien particulièrement novateur. Selon l’Académie, Sullivan est distingué « pour ses contributions fondamentales...

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 6 286 mots

    L' algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xix e siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'ensemble des mathématiques...

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 7 504 mots

    L'analyse mathématique est le développement des notions et résultats fondamentaux du calcul infinitésimal. Ce dernier s'était déjà considérablement enrichi et diversifié entre les mains des mathématiciens du xviii e siècle, avant tout Euler et Lagrange. À partir de 1800, cette diversification...

  • COMPACITÉ, mathématique

    • Écrit par André WARUSFEL
    • 897 mots

    La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que...

  • CONNEXITÉ, mathématique

    • Écrit par André WARUSFEL
    • 861 mots

    L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue,...

  • CONTINUITÉ, mathématique

    • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
    • 1 089 mots

    L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie...

  • FONDEMENTS DE LA TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE (H. Poincaré)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 174 mots
    • 1 média

    Henri Poincaré (1854-1912) est considéré comme l'inventeur de la topologie algébrique et différentielle. L'Analysis situs, ou géométrie de situation, qu'il développe à partir de 1894, alors qu'il est professeur à la Sorbonne et à l'École polytechnique, concerne les propriétés...

  • LIMITE (mathématique)

    • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
    • 1 022 mots

    La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de...

  • MÉTRIQUES ESPACES

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 5 350 mots
    • 1 média

    La notion d'espace métrique, introduite en 1906 par M. Fréchet et développée peu après par F.  Hausdorff, est directement issue d'une analyse des principales propriétés de la distance usuelle. L'extension aux espaces métriques des propriétés de l'espace euclidien qui sont définissables à...

  • NŒUDS (THÉORIE DES)

    • Écrit par Jean BRETTE
    • 1 675 mots
    • 11 médias

    Depuis le xix e siècle, les mathématiciens étudient les nœuds, et des objets voisins comme les chaînes ou les tresses, afin de comprendre leur géométrie, de les comparer et de les classer.

  • NŒUDS ET TRESSES (mathématiques)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 329 mots

    La théorie mathématique des nœuds et des tresses naquit de l'idée du physicien britannique William Thomson, aussi connu sous le nom de lord Kelvin, qui en 1869 proposa de décrire la matière à partir de tubes d'éther tressés. Son collaborateur Peter Guthrie Tait entreprit dès 1876...

  • NORMÉS ESPACES VECTORIELS

    • Écrit par Robert ROLLAND, Jean-Luc VERLEY
    • 5 144 mots

    L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xx e siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales,...

  • POINCARÉ CONJECTURE DE

    • Écrit par Gérard BESSON
    • 537 mots
    • 1 média

    À la fin du « Cinquième complément à l'Analysis situs » (1904), Henri Poincaré (1854-1912) pose la problématique connue depuis lors sous le nom de « conjecture de Poincaré »: caractériser la sphère parmi les espaces fermés et finis à trois dimensions (que l'on appelle des variétés...

  • RUBAN DE MÖBIUS (topologie)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 162 mots
    • 1 média

    Dans un mémoire, présenté à l'Académie des sciences mais qui ne fut découvert qu'après sa mort, August Ferdinand Möbius (1790-1868) discute les propriétés de surfaces unilatères, c'est-à-dire n'ayant qu'une seule face et une seule frontière. Il cite en particulier le paradoxal...

  • SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

    • Écrit par Alain CHENCINER
    • 8 652 mots
    • 19 médias

    De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application...

  • THÉORIE DES ESPACES TOPOLOGIQUES ET MÉTRIQUES

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 364 mots

    Le mathématicien allemand Felix Hausdorff a longtemps hésité entre les carrières musicale, littéraire et scientifique ; sa pièce de théâtre satirique écrite en 1904 a même rencontré un certain succès puisqu'elle sera jouée plusieurs centaines de fois jusqu'en 1930. À partir de 1902, il est à la fois...

  • TOPOLOGIE - Topologie générale

    • Écrit par Claude MORLET
    • 3 661 mots
    • 3 médias

    Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie...

  • TOPOLOGIE - Topologie algébrique

    • Écrit par Claude MORLET
    • 7 145 mots
    • 1 média

    Inventée au début du xx e siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l'introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l'exposé, on a décomposé cet article en deux parties. Dans la première partie...

  • VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

    • Écrit par Claude MORLET
    • 8 630 mots
    • 7 médias

    On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B.  Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement...

Médias

Bande de Möbius

Bande de Möbius

Bande de Möbius

Découpage d'une bande de Möbius suivant une ligne située au milieu de la largeur ou suivant une…

Caractère universel d'une famille transverse

Caractère universel d'une famille transverse

Caractère universel d'une famille transverse

Caractère universel d'une famille transverse.

Carte de la sphère S2

Carte de la sphère S2

Carte de la sphère S2

Cartes de la sphère S2

Comment faire un nœud de trèfle

Comment faire un nœud de trèfle

Comment faire un nœud de trèfle

Comment faire un nœud de trèfle. Le nœud de trèfle peut être obtenu en recollant les extrémités…

Complexes simpliciaux

Complexes simpliciaux

Complexes simpliciaux

Exemples de complexes simpliciaux

Construction de la courbe de Peano

Construction de la courbe de Peano

Construction de la courbe de Peano

Construction de la célèbre courbe de Peano

Construction de l'application DA(e)

Construction de l'application DA(e)

Construction de l'application DA(e)

Construction de l'application DA(e).

Courbe de longueur minimum

Courbe de longueur minimum

Courbe de longueur minimum

Propriétés d'une courbe de longueur minimum

Cusp

Cusp

Cusp

Déploiement universel de x → x4 (cusp).

Cylindre et bande de Möbius

Cylindre et bande de Möbius

Cylindre et bande de Möbius

Construction d'un cylindre et d'une bande de Möbius par recollement d'une bande de papier

Déformation continue d'un germe

Déformation continue d'un germe

Déformation continue d'un germe

Problèmes liés à la définition d'une déformation continue d'un germe.

Déformation des nœuds

Déformation des nœuds

Déformation des nœuds

Les trois premiers nœuds sont équivalents. Le passage de a à b se fait dans le plan par déformation…

Déformation universelle d'un point épais

Déformation universelle d'un point épais

Déformation universelle d'un point épais

Déformation universelle d'un point « épais » d'équation x3 = 0.

Déploiement universel de l'ombilic elliptique

Déploiement universel de l'ombilic elliptique

Déploiement universel de l'ombilic elliptique

Déploiement universel de l'ombilic elliptique.

Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique

Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique

Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique

Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique.

Déploiement universel de x vers x3

Déploiement universel de x vers x3

Déploiement universel de x vers x3

Déploiement universel de x → x3.

Élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction

Élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction

Élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction

Modèle géométrique d'élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction.

Espace projectif réel P<inf>2</inf> (R)

Espace projectif réel P2 (R)

Espace projectif réel P2 (R)

Topologie de l'espace projectif réel P2 R)(

Espaces topologiques : recollement

Espaces topologiques : recollement

Espaces topologiques : recollement

Recollement des espaces topologiques.

Exemples d'états du nœud de trèfle

Exemples d'états du nœud de trèfle

Exemples d'états du nœud de trèfle

Deux exemples d'états du nœud de trèfle. Il en existe 6 autres.

Exemples du calcul du polynôme HOMFLY

Exemples du calcul du polynôme HOMFLY

Exemples du calcul du polynôme HOMFLY

Deux exemples du calcul du polynôme HOMFLY. a) Polynômes de cercles séparés; b) Polynôme du nœud de…

Fibration de Milnor

Fibration de Milnor

Fibration de Milnor

Fibration de Milnor.

Géométrie de Lobatchevski

Géométrie de Lobatchevski

Géométrie de Lobatchevski

Géométrie de Lobatchevski

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Jets d'une fonction quadratique d'une variable, de la forme f(x) = a + bx2.

Mouvements de Reidemeister

Mouvements de Reidemeister

Mouvements de Reidemeister

Les mouvements de Reidemeister. Deux diagrammes représentent le même nœud si et seulement si l'on…

Nœud de trèfle et nœud en huit

Nœud de trèfle et nœud en huit

Nœud de trèfle et nœud en huit

Nœud de trèfle et nœud en huit. Les variantes droite et gauche du nœud de trèfle ne sont pas…

Nœud trivial

Nœud trivial

Nœud trivial

Le nœud trivial. Ces diagrammes possèdent 0, 1 ou 2 croisements, mais ils correspondent en fait au…

Orbite de codimension 1

Orbite de codimension 1

Orbite de codimension 1

Exemple d'orbite de codimention 1 de Ca (N, R) formée de fonctions de Morse ayant deux valeurs…

Pli et fronce

Pli et fronce

Pli et fronce

Germes d'applications stables de R2 dans R2 : pli en a, fronce en b.

Point de non-transversalité

Point de non-transversalité

Point de non-transversalité

Exemple de point de non-transversalité.

Premiers nœuds de la classification de Tait

Premiers nœuds de la classification de Tait

Premiers nœuds de la classification de Tait

Les premiers nœuds de la classification de Tait.

Produit de deux nœuds

Produit de deux nœuds

Produit de deux nœuds

Le produit de deux nœuds.

Queue d'aronde

Queue d'aronde

Queue d'aronde

Déploiement universel de x → x5 (queue d'aronde).

Régions associées à un croisement et états correspondants

Régions associées à un croisement et états correspondants

Régions associées à un croisement et états correspondants

Les régions associées à un croisement, et les deux états correspondants.

Relation de Conway

Relation de Conway

Relation de Conway

La relation de Conway. Si les nœuds ou chaînes N+, N- et N0 ne…

Sphère de Riemann

Sphère de Riemann

Sphère de Riemann

Géométrie de la sphère de Riemann

Stabilité d'une famille transverse

Stabilité d'une famille transverse

Stabilité d'une famille transverse

Stabilité d'une famille transverse.

Tangente à une courbe

Tangente à une courbe

Tangente à une courbe

Définition de la tangente à une courbe.

Théorème de déformation verselle

Théorème de déformation verselle

Théorème de déformation verselle

Démonstration du théorème de déformation verselle.

Théorème du nice range

Théorème du nice range

Théorème du nice range

Le théorème dit « The nice range ».

Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)

Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)

Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)

Variation d'un vecteur par transport parallèle le long d'une courbe fermée : cas du demi-plan de…

Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)

Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)

Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)

Variation d'un vecteur par transport parallèle le long d'une courbe fermée : cas de la sphère de…