Topologie
4358ALGÈBRE
La continuité des opérations algébriques est d'usage courant dans l'analyse classique ; depuis le début du xixe siècle, en liaison avec l'introduction des nouveaux êtres mathématiques considérés plus haut, les mathématiciens allaient rencontrer dans de nombreux problèmes de nature variée des ensembles munis d'une notion de convergence et de lois de co […] Lire la suite
ANALYSE MATHÉMATIQUE
La notion de limite est la base même du calcul infinitésimal ; mais, bien que certains d'entre eux, dont d'Alembert, aient approché d'une définition pour nous correcte, les mathématiciens du xviiie siècle étaient hors d'état de développer une théorie mathématique rigoureuse du « calcul », sur le modèle de la géométrie grecque, et devaient se contenter […] Lire la suite
COMPACITÉ, mathématique
La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté nécessaire aux infiniment petits du […] Lire la suite
CONNEXITÉ, mathématique
L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si I est un segment. Mais la plus importan […] Lire la suite
CONTINUITÉ, mathématique
L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie axiomatique des espaces topol […] Lire la suite
FONDEMENTS DE LA TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE (H. Poincaré)
Henri Poincaré (1854-1912) est considéré comme l'inventeur de la topologie algébrique et différentielle. L'Analysis situs, ou géométrie de situation, qu'il développe à partir de 1894, alors qu'il est professeur à la Sorbonne et à l'École polytechnique, concerne les propriétés invariantes d' […] Lire la suite
LIMITE (mathématique)
La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de […] Lire la suite
MÉTRIQUES ESPACES
La notion d'espace métrique, introduite en 1906 par M. Fréchet et développée peu après par F. Hausdorff, est directement issue d'une analyse des principales propriétés de la distance usuelle. L'extension aux espaces métriques des propriétés de l'espace euclidien qui sont définissables à partir de la distance seule introduit un langage géométrique dans de nombreuses questions d'analyse et de théori […] Lire la suite
NŒUDS ET TRESSES (mathématiques)
La théorie mathématique des nœuds et des tresses naquit de l'idée du physicien britannique William Thomson, aussi connu sous le nom de lord Kelvin, qui en 1869 proposa de décrire la matière à partir de tubes d'éther tressés. Son collaborateur Peter Guthrie Tait entreprit dès 1876 de classifier tous les nœuds. Il définit d'abord les diagrammes de nœuds, […] Lire la suite
NŒUDS (THÉORIE DES)
Depuis le xixe siècle, les mathématiciens étudient les nœuds, et des objets voisins comme les chaînes ou les tresses, afin de comprendre leur géométrie, de les comparer et de les classer.Intuitivement et mathématiquement, deux nœuds sont dits équivalents si l'on peut déformer l'un pour lui donner la forme de l'autre. Si l'on s'en tient au sens commun, […] Lire la suite
NORMÉS ESPACES VECTORIELS
L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xxe siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, ainsi que des […] Lire la suite
RUBAN DE MÖBIUS (topologie)
Dans un mémoire, présenté à l'Académie des sciences mais qui ne fut découvert qu'après sa mort, August Ferdinand Möbius (1790-1868) discute les propriétés de surfaces unilatères, c'est-à-dire n'ayant qu'une seule face et une seule frontière. Il cite en particulier le paradoxal ruban qui porte son nom et qu'il a étudié en 1858 alors qu'il répo […] Lire la suite
SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications
De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de rang maxi […] Lire la suite
THÉORIE DES ESPACES TOPOLOGIQUES ET MÉTRIQUES
Lemathématicien allemand Felix Hausdorff a longtemps hésité entre les carrières musicale, littéraire et scientifique ; sa pièce de théâtre satirique écrite en 1904 a même rencontré un certain succès puisqu'elle sera jouée plusieurs centaines de fois jusqu'en 1930. À partir de 1902, il est à la fois enseignant dans une école de commerce et à l'univers […] Lire la suite
TOPOLOGIE - Topologie algébrique
Inventée au début du xxe siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l'introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l'exposé, on a décomposé cet article en deux parties. Dans la première partie (chapitres 1 à 5), les problèmes géométriques sont t […] Lire la suite
TOPOLOGIE - Topologie générale
Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M0M varie continûment et, si M tend vers M0, la corde M0M a une pos […] Lire la suite
VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B. Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde ; elle fut longuement développée par les géomètres du xix […] Lire la suite
Les trois premiers nœuds sont équivalents. Le passage de a à b se fait dans le plan par déformation des brins; celui de a à c requiert l'espace; le nœud d ne leur est pas équivalent.
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Le nœud trivial. Ces diagrammes possèdent 0, 1 ou 2 croisements, mais ils correspondent en fait au même et unique nœud: le nœud trivial, d'ordre 0; il n'existe donc pas de nœud d'ordre 1 ou 2.
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Premiers nœuds de la classification de Tait
Les premiers nœuds de la classification de Tait.
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Nœud de trèfle et nœud en huit
Nœud de trèfle et nœud en huit. Les variantes droite et gauche du nœud de trèfle ne sont pas équivalentes. Par contre, celles du nœud en huit le sont; un tel nœud est dit réflexif.
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Comment faire un nœud de trèfle
Comment faire un nœud de trèfle. Le nœud de trèfle peut être obtenu en recollant les extrémités supérieures et inférieures de cette tresse à deux brins.
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Les mouvements de Reidemeister. Deux diagrammes représentent le même nœud si et seulement si l'on peut passer de l'un à l'autre à l'aide d'un nombre fini de mouvements de type I, II ou III."
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La relation de Conway. Si les nœuds ou chaînes N
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Exemples du calcul du polynôme HOMFLY
Deux exemples du calcul du polynôme HOMFLY. a) Polynômes de cercles séparés; b) Polynôme du nœud de trèfle droit.
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Régions associées à un croisement et états correspondants
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Exemples d'états du nœud de trèfle
Deux exemples d'états du nœud de trèfle. Il en existe 6 autres.
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Construction de la courbe de Peano
Construction de la célèbre courbe de Peano
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Jets d'une fonction quadratique d'une variable
Jets d'une fonction quadratique d'une variable, de la forme f(x) = a + bx2.
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Caractère universel d'une famille transverse
Caractère universel d'une famille transverse.
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Stabilité d'une famille transverse
Stabilité d'une famille transverse.
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Construction de l'application DA(e)
Construction de l'application DA(e).
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Exemple d'orbite de codimention 1 de Ca (N, R) formée de fonctions de Morse ayant deux valeurs critiques égales.
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Déformation continue d'un germe
Problèmes liés à la définition d'une déformation continue d'un germe.
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Théorème de déformation verselle
Démonstration du théorème de déformation verselle.
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Exemple de point de non-transversalité.
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Déploiement universel de x vers x3
Déploiement universel de x → x3.
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Déploiement universel de x → x5 (queue d'aronde).
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Déploiement universel de l'ombilic elliptique
Déploiement universel de l'ombilic elliptique.
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Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique
Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique.
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Déformation universelle d'un point épais
Déformation universelle d'un point « épais » d'équation x3 = 0.
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Germes d'applications stables de R2 dans R2 : pli en a, fronce en b.
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Le théorème dit « The nice range ».
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Élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction
Modèle géométrique d'élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction.
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Définition de la tangente à une courbe.
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Espaces topologiques : recollement
Recollement des espaces topologiques.
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Topologie de l'espace projectif réel
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Exemples de complexes simpliciaux
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Découpage d'une bande de Möbius suivant une ligne située au milieu de la largeur ou suivant une ligne située au tiers de la largeur
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Construction d'un cylindre et d'une bande de Möbius par recollement d'une bande de papier
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Propriétés d'une courbe de longueur minimum
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Géométrie de la sphère de Riemann
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Géométrie de Lobatchevski
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Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)
Variation d'un vecteur par transport parallèle le long d'une courbe fermée : cas de la sphère de Riemann.
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Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)
Variation d'un vecteur par transport parallèle le long d'une courbe fermée : cas du demi-plan de Lobatchevski.
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Régions associées à un croisement et états correspondants
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Élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction
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