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MÉTRIQUES ESPACES

Topologie d'un espace métrique

À partir des boules, on peut construire sur un espace métrique les principales notions topologiques qui permettent de « faire de l'analyse ». À ce propos, par la clarté avec laquelle les notions de limite et de continuité s'expriment au moyen de la terminologie que nous allons introduire, la théorie des espaces métriques constitue un excellent préliminaire à la topologie générale.

Ouverts et fermés

Soit E un espace métrique de distance d. On dit qu'un sous-ensemble U de E est ouvert si pour tout point x ∈ U il existe une boule ouverte de centre x contenue dans U. D'après un principe général de logique, l'ensemble vide, qui n'a pas d'élément, est donc ouvert. Faisons le lien avec la terminologie introduite plus haut en montrant qu'une boule ouverte B(x0r) est un ensemble ouvert : en effet, si x ∈ B(x0r), l'inégalité triangulaire entraîne que B(xr′) ⊂ B(x0r) pour r′ = r − d(x0x) > 0. On voit donc qu'un ensemble U est ouvert si et seulement si c'est une réunion de boules ouvertes.

La famille des ouverts d'un espace métrique vérifie les propriétés suivantes qui sont prises en topologie générale comme axiomes pour définir une topologie : (O1) E et o/ sont des ensembles ouverts ; (O2) Toute réunion (finie ou pas) d'ensembles ouverts est un ensemble ouvert ; (O3) Toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.

Montrons ce dernier point. Soit U1, U2, ..., Un des ouverts ; si l'intersection est vide, c'est terminé d'après (O1). Sinon, soit x ∈ U1 ∩ ... ∩ Un = U ; par hypothèse, il existe ri, i = 1, ..., n, tels que B(xri) ⊂ Ui et par suite B(xr) ⊂ U pour r = inf (r1, ..., rn).

On dit que deux distances d1 et d2 sur un même ensemble E sont (topologiquement) équivalentes si les ouverts correspondants sont les mêmes. Cela signifie que toute boule ouverte B1 de centre x0 par rapport à la distance d1 contient une boule B2 de centre x0 (par rapport à la distance d2), puisque x0 ∈ B1, qui, étant un ouvert pour d1, est aussi un ouvert pour d2, et vice versa. C'est ce qui se produit pour les trois distances d1, d2 et d3 considérées plus haut sur R2, qui définissent les mêmes ouverts. Remarquons aussi que, sur R, la distance usuelle d définie à partir de la valeur absolue par d(xy) = |x − y|, et pour laquelle les boules sont les intervalles, est topologiquement équivalente à la distance d′ pour laquelle R est un sous-espace métrique de R− (cf. chap. 1), c'est-à-dire :

Par passage au complémentaire, on définit la famille des fermés d'un espace métrique : un sous-ensemble F de E est dit fermé si son complémentaire dans E est un ensemble ouvert. Par exemple toute boule fermée Bf(x0r) est un ensemble fermé ; en effet, si x ∉ Bf(x0r), on a :

pour r′ = d(x0x) − r > 0, comme cela résulte facilement de l'inégalité triangulaire. Des propriétés (O1), (O2) et (O3) il résulte facilement que o/ et E sont des fermés ; toute intersection (finie ou pas) de fermés est un fermé ; toute réunion finie de fermés est un fermé. Si A est un sous-ensemble quelconque de E, il existe donc un « plus petit » (pour l'inclusion) ensemble fermé contenant A, à savoir l'intersection A− de la famille de tous les fermés qui contiennent A ; cet ensemble A− est aussi le complémentaire du « plus grand » (toujours pour l'inclusion) ensemble ouvert ne rencontrant pas A, qui est la réunion des boules ouvertes ne rencontrant pas A. Ainsi, un point x ∈ E appartient à A− si et seulement si toute boule ouverte de centre x rencontre A, ce qui revient au fait que la distance de x à A est nulle : on dit alors que x est un point adhérent à A. L'ensemble fermé A− s'appelle la fermeture, ou l' adhérence de[...]

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Média

Inégalités de distances

Inégalités de distances

Autres références

  • COSMOLOGIE

    • Écrit par Marc LACHIÈZE-REY
    • 9 300 mots
    • 6 médias
    L'espace ordinaire est muni de trois dimensions x, y et z. Entre deux points séparés de dx en hauteur, dy en largeur et dz en profondeur, le carré de la distance s'écrit de manière simple :
    Pour généraliser à quatre dimensions, il suffit de rajouter un quatrième terme similaire correspondant...
  • FRÉCHET MAURICE (1878-1973)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 305 mots

    Mathématicien français dont le nom reste attaché principalement à l'introduction des espaces métriques en analyse fonctionnelle. Né à Maligny, Fréchet entra à l'École normale supérieure en 1900. Il fut successivement professeur de mécanique à l'université de Poitiers (1910-1919), professeur...

  • HAUSDORFF FELIX (1868-1942)

    • Écrit par Jeanne PEIFFER
    • 690 mots

    La renommée du mathématicien allemand Felix Hausdorff repose surtout sur son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre (1914), qui en fit le fondateur de la topologie et de la théorie des espaces métriques.

    Né à Breslau dans une famille de marchands aisés, Hausdorff fit ses études secondaires à...

  • HUREWICZ WITOLD (1904-1956)

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 184 mots

    Mathématicien américain d'origine polonaise, né à Łódź (Pologne) et mort à Uxmal, au Mexique. Witold Hurewicz fit ses études supérieures à Vienne, où il passa son doctorat en 1926, puis à Amsterdam, où il resta jusqu'en 1936 ; il partit ensuite pour les États-Unis, et travailla à l'Institute for...

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Voir aussi