MÉTRIQUES ESPACES

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

La propriété de Baire

Les sous-espaces ouverts des espaces métriques complets et les espaces métriques localement compacts possèdent la propriété suivante, appelée propriété de Baire, qui joue un rôle important dans de nombreuses questions d'analyse : Si Un est une suite d'ouverts partout denses, alors l'intersection des Un est un ensemble partout dense.

Sous le nom de « méthode de la catégorie », ce résultat a été utilisé systématiquement par l'école mathématique polonaise pour démontrer de profonds théorèmes (théorème du graphe fermé, théorème de Banach-Steinhaus ; cf. Stefan banach ; espaces vectoriels normés).

Par passage au complémentaire, on peut énoncer cette propriété : si Fn est une suite de fermés dont le complémentaire est partout dense, alors la réunion des Fn a un complémentaire partout dense. On dit qu'un ensemble A est rare si le complémentaire de son adhérence est partout dense ; ainsi, la propriété de Baire entraîne que, si un ensemble est réunion dénombrable d'ensembles rares (on dit qu'un tel ensemble est maigre), son complémentaire est partout dense. En particulier ce complémentaire est non vide ; ce type de raisonnement a été utilisé par S. Banach pour démontrer l'existence de fonctions possédant des singularités données à l'avance. Voici maintenant, pour terminer, un énoncé faisant intervenir la notion d'ensemble maigre et permettant, grâce à elle, de « dire quelque chose » d'une fonction qui est limite simple d'une suite de fonctions continues (on sait qu'une telle limite n'est pas nécessairement une fonction continue) : Si E est un espace métrique complet et F un espace métrique, soit fn une suite d'applications continues de E dans F telles qu'en chaque point ∈ E la suite (fn(x)) converge dans F vers un élément (x). Alors l'ensemble des points x de E où f n'est pas continue est un ensemble maigre.

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 10 pages

Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

Classification

Autres références

«  MÉTRIQUES ESPACES  » est également traité dans :

COSMOLOGIE

  • Écrit par 
  • Marc LACHIÈZE-REY
  •  • 9 328 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Métrique »  : […] L'espace ordinaire est muni de trois dimensions x , y et z . Entre deux points séparés de dx en hauteur, dy en largeur et dz en profondeur, le carré de la distance s'écrit de manière simple : Pour généraliser à quatre dimensions, il suffit de rajouter un quatrième terme similaire correspondant à la dimension temporelle supplémentaire. Mais le temps jouant un rôle différent de l'espace, sa co […] Lire la suite

FRÉCHET MAURICE (1878-1973)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 306 mots

Mathématicien français dont le nom reste attaché principalement à l'introduction des espaces métriques en analyse fonctionnelle. Né à Maligny, Fréchet entra à l'École normale supérieure en 1900. Il fut successivement professeur de mécanique à l'université de Poitiers (1910-1919), professeur d'analyse supérieure à l'université de Strasbourg (1920-1927) ; après sa venue à Paris, où il resta jusqu'à […] Lire la suite

HAUSDORFF FELIX (1868-1942)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 688 mots

La renommée du mathématicien allemand Felix Hausdorff repose surtout sur son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre (1914), qui en fit le fondateur de la topologie et de la théorie des espaces métriques. Né à Breslau dans une famille de marchands aisés, Hausdorff fit ses études secondaires à Leipzig, puis étudia les mathématiques et l'astronomie à Leipzig, Fribourg-en-Brisgau et Berlin. En 1891, il ob […] Lire la suite

HUREWICZ WITOLD (1904-1956)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 186 mots

Mathématicien américain d'origine polonaise, né à Łódź (Pologne) et mort à Uxmal, au Mexique. Witold Hurewicz fit ses études supérieures à Vienne, où il passa son doctorat en 1926, puis à Amsterdam, où il resta jusqu'en 1936 ; il partit ensuite pour les États-Unis, et travailla à l'Institute for Advanced Study, à l'université de Caroline du Nord et, à partir de 1945, au Massachusetts Institute of […] Lire la suite

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 094 mots

Dans le chapitre « Espaces vectoriels normés, espaces de Banach : définitions et premières propriétés »  : […] Dans ce qui suit, on ne considérera que des espaces vectoriels sur le corps R des nombres réels ou sur le corps C des nombres complexes. Pour éviter de préciser à chaque fois, on désignera par K ce corps de base ; pour α ∈ K, la notation |α| désignera donc soit la valeur absolue de α si K =  R , soit le module de α si K =  C . Soit E un espace vectoriel sur K. On appelle norme sur E une applicat […] Lire la suite

RELATIVITÉ - Relativité générale

  • Écrit par 
  • Thibault DAMOUR, 
  • Stanley DESER
  •  • 12 096 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Métrique et gravitation »  : […] Le principe d'équivalence permet de formuler toutes les autres lois de la physique, en présence d'un champ de gravitation, dans des régions infiniment petites. Il est cependant nécessaire, afin de tirer les conséquences de ces lois en résolvant leurs équations, de relier entre elles les régions possédant des référentiels d'inertie locaux différents. Cette opération mettra en évidence les effets d […] Lire la suite

TOPOLOGIE - Topologie générale

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 4 363 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Exemples »  : […] On trouvera dans de nombreux articles de mathématiques de cette encyclopédie des exemples d'ensembles munis d'une topologie. Voici quelques rappels et exemples complémentaires. 1. Sur tout ensemble X, on appelle topologie grossière la topologie dont les seuls ouverts sont X et l'ensemble vide. Tout point de X a alors un seul voisinage qui est X lui-même. 2. Il existe une topologie sur X pour laqu […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « MÉTRIQUES ESPACES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-metriques/