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MÉTRIQUES ESPACES

La propriété de Baire

Les sous-espaces ouverts des espaces métriques complets et les espaces métriques localement compacts possèdent la propriété suivante, appelée propriété de Baire, qui joue un rôle important dans de nombreuses questions d'analyse : Si Unest une suite d'ouverts partout denses, alors l'intersection des Un est un ensemble partout dense.

Sous le nom de « méthode de la catégorie », ce résultat a été utilisé systématiquement par l'école mathématique polonaise pour démontrer de profonds théorèmes (théorème du graphe fermé, théorème de Banach-Steinhaus ; cf. Stefan banach ; espaces vectoriels normés).

Par passage au complémentaire, on peut énoncer cette propriété : si Fn est une suite de fermés dont le complémentaire est partout dense, alors la réunion des Fn a un complémentaire partout dense. On dit qu'un ensemble A est rare si le complémentaire de son adhérence est partout dense ; ainsi, la propriété de Baire entraîne que, si un ensemble est réunion dénombrable d'ensembles rares (on dit qu'un tel ensemble est maigre), son complémentaire est partout dense. En particulier ce complémentaire est non vide ; ce type de raisonnement a été utilisé par S. Banach pour démontrer l'existence de fonctions possédant des singularités données à l'avance. Voici maintenant, pour terminer, un énoncé faisant intervenir la notion d'ensemble maigre et permettant, grâce à elle, de « dire quelque chose » d'une fonction qui est limite simple d'une suite de fonctions continues (on sait qu'une telle limite n'est pas nécessairement une fonction continue) : Si E est un espace métrique complet et F un espace métrique, soit fn une suite d'applications continues de E dans F telles qu'en chaque point x ∈ E la suite (fn(x)) converge dans F vers un élément f (x). Alors l'ensemble des points x de E où f n'est pas continue est un ensemble maigre.

— Jean-Luc VERLEY

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Média

Inégalités de distances

Inégalités de distances

Autres références

  • COSMOLOGIE

    • Écrit par Marc LACHIÈZE-REY
    • 9 300 mots
    • 6 médias
    L'espace ordinaire est muni de trois dimensions x, y et z. Entre deux points séparés de dx en hauteur, dy en largeur et dz en profondeur, le carré de la distance s'écrit de manière simple :
    Pour généraliser à quatre dimensions, il suffit de rajouter un quatrième terme similaire correspondant...
  • FRÉCHET MAURICE (1878-1973)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 305 mots

    Mathématicien français dont le nom reste attaché principalement à l'introduction des espaces métriques en analyse fonctionnelle. Né à Maligny, Fréchet entra à l'École normale supérieure en 1900. Il fut successivement professeur de mécanique à l'université de Poitiers (1910-1919), professeur...

  • HAUSDORFF FELIX (1868-1942)

    • Écrit par Jeanne PEIFFER
    • 690 mots

    La renommée du mathématicien allemand Felix Hausdorff repose surtout sur son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre (1914), qui en fit le fondateur de la topologie et de la théorie des espaces métriques.

    Né à Breslau dans une famille de marchands aisés, Hausdorff fit ses études secondaires à...

  • HUREWICZ WITOLD (1904-1956)

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 184 mots

    Mathématicien américain d'origine polonaise, né à Łódź (Pologne) et mort à Uxmal, au Mexique. Witold Hurewicz fit ses études supérieures à Vienne, où il passa son doctorat en 1926, puis à Amsterdam, où il resta jusqu'en 1936 ; il partit ensuite pour les États-Unis, et travailla à l'Institute for...

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Voir aussi