RÉELS NOMBRES

Par les différents adjectifs généralement accolés au substantif commun qu'est le nombre, la langue mathématique familière surprend et inquiète, car elle risque de susciter des confusions : nombres rationnels (d'autres nombres seraient donc sans raison ?), nombres réels (des nombres doués d'existence propre ?), nombres algébriques (seuls susceptibles des règles de l'algèbre ?), nombres transfigurés, nombres hyperréels, nombres cardinaux, nombres flous, etc.

L'histoire, naturellement, explique cette richesse du vocabulaire. Elle justifie l'organisation des adjectifs par couples opposés, oppositions dont la constitution scande les conquêtes mathématiques sur le champ numérique. Nombres réels et nombres imaginaires forment un couple antagoniste, de même que le couple nombres rationnels – nombres irrationnels, ou encore le couple nombres algébriques – nombres transcendants. Cette histoire embrasse l'évolution générale des mathématiques, tout particulièrement pour ce qui concerne les nombres qualifiés de réels. En effet, on peut sans exagération en faire remonter la théorie à la Grèce classique, la Grèce d'Euclide, celle de la génération d'après Alexandre le Grand. Pourtant, la construction mathématique des nombres réels ne fut réglée que vers les années 1870, élaborant la révolution de la théorie des ensembles, laquelle a débouché tant sur la topologie, dont la formalisation est du xxe siècle, que sur la logique. Bien des propriétés fines de l'ensemble des nombres réels sont de découverte contemporaine. De même, le problème antique de la quadrature du cercle ne connut de solution négative qu'en 1882, et ce malgré une multiplicité d'approches. Cette multiplicité même conduisit l'Académie royale des sciences de Paris, en 1776, à ne plus accepter l'examen de prétendues solutions positives. La structure algébrique de l'ensemble des nombres réels ne fut explicitée qu'après l'invention des quaternions en 1843. Enfin, un avatar de modèles logiques conduisit à l'analyse non standard ve [...]


pour nos abonnés,
l’article se compose de 23 pages

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., directeur d'études à l'École des hautes études en sciences sociales

Classification


Autres références

«  RÉELS NOMBRES  » est également traité dans :

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 744 mots

Dans le chapitre « L'avènement de la théorie des ensembles et de la topologie »  : […] occasion, Bolzano et Cauchy dégagent le critère fondamental (dit « critère de Cauchy ») d'existence de la limite d'une suite (un) de nombres réels : pour tout ε > 0, il existe un entier n0 tel que, si m et n sont tous deux au moins égaux à n0, on a |um − […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/#i_25624

BOLZANO BERNARD (1781-1848)

  • Écrit par 
  • Jan SEBESTIK
  •  • 3 612 mots

Dans le chapitre « Le système de la « Grössenlehre » et les « Paradoxes de l'infini » »  : […] La partie la plus remarquable de la Reine Zahlenlehre traite des nombres réels (« grandeurs mesurables » selon la terminologie de Bolzano). Bolzano commence par définir les « expressions numériques infinies » (utilisées par Euler) qu'on peut interpréter, avec B. van Rootselaar, comme suites des résultats partiels. À ces […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/bernard-bolzano/#i_25624

CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable

  • Écrit par 
  • Roger GODEMENT
  •  • 11 790 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Notion de borne supérieure »  : […] l'ensemble des nombres réels  ; il nous suffira de savoir qu'un nombre réel est un développement décimal illimité précédé d'un signe (qu'on omet s'il s'agit du signe +), par exemple le nombre − 3,141 59. ... ou bien le nombre 1 = 1,000 0.. ... = 0,999 99. ..., et que l'on peut effectuer sur ces nombres des opérations […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-une-variable/#i_25624

CANTOR GEORG (1845-1918)

  • Écrit par 
  • Hourya BENIS-SINACEUR
  •  • 2 887 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Cantor et Dedekind, une relation déterminante »  : […] de la théorie des séries trigonométriques » publié en 1872 dans les Mathematische Annalen. Pour les besoins de sa démonstration, Cantor expose d’abord sa théorie des nombres réels. Partant de l’ensemble Q des nombres rationnels, il considère des suites (ai) d’éléments de Q obéissant au critère de Cauchy, c’est-à-dire […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/cantor-georg-1845-1918/#i_25624

CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 185 mots

Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles. Après quelques travaux en théorie des nombres et une rencontre décisive avec le mathématicien Richard […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/cantor-theorie-des-ensembles/#i_25624

CONSTRUCTION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 434 mots

Tout cela reste du ressort de l'algèbre, comme le sera le passage ultérieur du corps ℝ des nombres réels à celui des complexes, noté C. Un nombre complexe, habituellement noté a + bi, est en fait un couple (a, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/construction-mathematique/#i_25624

CONTINU HYPOTHÈSE DU

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 2 247 mots

Dans le chapitre « Une affaire terminée ? »  : […] Cantor a fondé la théorie des ensembles à la fin du xixe siècle en montrant qu'il existe plus de nombres réels que d'entiers, et donc des infinis de tailles différentes. Le problème du continu est la question : toute partie infinie de ℝ est-elle en bijection […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/hypothese-du-continu/#i_25624

CONTINU & DISCRET

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
  •  • 7 679 mots

Dans le chapitre « Investissement philosophique de l'opposition »  : […] relation qu'entretient son épistémologie avec la science de son temps, que le continu réel est en fait visé par là, c'est lui qui se trouve a priori imputé aux phénomènes par les « axiomes de l'intuition », qui tirent les conséquences de l'esthétique et de l'analytique transcendantales. Il est important de noter que la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/continu-et-discret/#i_25624

CONTINUITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 266 mots

Dans le chapitre « Continuité d'une fonction réelle d'une variable réelle »  : […] L'ensemble des nombres réels ℝ pouvant se représenter par une droite, ou, plus exactement, la courbe représentative de l'application identique de ℝ dans ℝ étant une droite, on dit que ℝ a la « puissance du continu », par opposition à l'ensemble des nombres entiers naturels ℕ, qui a la « puissance du dénombrable » et est dit « discret […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/continuite-mathematique/#i_25624

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La méthode axiomatique »  : […] (1900), Hilbert a remplacé la construction génétique des nombres réels (constructions successives à partir des entiers positifs, des entiers relatifs et des nombres rationnels) jusqu'alors usuelle, par une construction axiomatique, dans laquelle le concept de nombre réel est caractérisé dans son entier par le système d'axiomes, de la même façon […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_25624

INFINI, mathématiques

  • Écrit par 
  • Jean Toussaint DESANTI
  •  • 10 363 mots

Dans le chapitre « Le passage à la limite »  : […] n), et parce que nous disposons, sur l'ensemble des nombres réels, d'une définition purement analytique de la convergence. Il n'en allait pas de même aux origines du « calcul » où le concept de série infinie restait encore, à la fois, très opératoire et très intuitif. Aussi Leibniz interprète-t-il le signe de l'égalité en déclarant ( […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/infini-mathematiques/#i_25624

INTÉGRATION ET MESURE

  • Écrit par 
  • André REVUZ
  •  • 6 222 mots

Dans le chapitre « Le problème initial Généralités »  : […] part et l'échelle avec laquelle on mesure d'autre part, et de concevoir clairement ce qui les lie. L'échelle est constituée par le corps ordonné R des nombres réels (cf. nombres réels), dont la théorie définitive n'a été élaborée qu'à la fin du xixe siècle (G. Cantor, R. Dedekind), mais qui avait été déjà presque […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/integration-et-mesure/#i_25624

LIMITE NOTION DE

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 1 194 mots

La notion de limite fait son apparition dans un ouvrage du mathématicien anglais B. Robins intitulé A Discourse Concerning the Nature and Certainty of Sir Isaac Newton's Method of Fluxions and Prime and Ultimate Ratios (1735) ; c'est une réponse aux critiques formulées par le philosophe G. Berkeley à l'encontre du calcul […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/notion-de-limite/#i_25624

NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 785 mots

Dans le chapitre « Notion mathématique de nombre »  : […] Une suite de Cauchy d'éléments de ℚ – c'est-à-dire une fonction f de ℕ dans ℚ telle que, quel que soit ε > 0ℚ, il existe un M appartenant à ℕ tel que, quels que soient m et n supérieurs à M, la valeur absolue de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombre/#i_25624

NOMBRES COMPLEXES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 3 538 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Construction »  : […] Par définition, un nombre complexe sera un couple z = (xy) de deux nombres réels ; si z = (xy) et z′ = (x′, y′) sont deux nombres complexes, on appelle alors somme et produit de ces deux nombres complexes les nombres complexes : […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-complexes/#i_25624

NUMÉRIQUE CALCUL

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 5 699 mots

Dans le chapitre « Développements décimaux »  : […] incommensurables grandeurs (paru en 1634), Stevin approfondit la notion théorique de nombre réel ; il affirme que les difficultés rencontrées par les mathématiciens dans la mesure des grandeurs (cf. Euclide, livre X) viennent du fait « qu'ils ne tenaient pas les radicaux pour nombres, mais pour quantités sourdes, absurdes... et pas dignes d'être […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-numerique/#i_25624

PRIX ABEL 2016

  • Écrit par 
  • Yves GAUTIER
  •  • 1 206 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil  »  : […] L’équation d’une courbe elliptique peut être mise sous une forme simple : y2 = x3 + ax2 + bx + c, où a, b et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/prix-abel-2016/#i_25624

STEVIN SIMON (1548-1620)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 362 mots

Mathématicien et ingénieur flamand, né à Bruges et mort à La Haye. Simon Stevin vulgarisa l'usage des fractions décimales et contribua à la réfutation de la doctrine d'Aristote prétendant que les corps lourds tombent plus rapidement que les corps légers. Clerc de marchand à Anvers pour un temps, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/simon-stevin/#i_25624

STIELTJES THOMAS-JEAN (1856-1894)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 497 mots

Mathématicien né le 29 décembre 1856 à Zwolle (Pays-Bas), mort le 31 décembre 1894 à Toulouse. Sentant une profonde vocation pour les travaux théoriques, Thomas Stieltjes fit le tour de toute l'analyse de son époque. Sa méthode de recherche s'apparentait à celle de Gauss : découvrir les lois générales à travers les particularités de l'exemple […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/thomas-jean-stieltjes/#i_25624

TRANSCENDANTS NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 2 106 mots

n entier, qui sont racines de polynômes à coefficients entiers, les autres nombres réels étant qualifiés de transcendants. L'existence de nombres transcendants n'a été prouvée qu'au xixe siècle ; s'il est facile de construire des nombres transcendants, la question de savoir si un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-transcendants/#i_25624

WALLIS JOHN (1616-1703)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 558 mots

Mathématicien anglais né le 23 novembre 1616 à Ashford (Kent) et mort le 28 octobre 1703 à Oxford, Wallis est un des plus illustres précurseurs d'Isaac Newton. En 1632, il entre au collège Emmanuel de Cambridge, où il se distingue dans de nombreux domaines. Environ huit ans plus tard, il obtient une bourse au Queens' College […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/john-wallis/#i_25624

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean DHOMBRES, « RÉELS NOMBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 septembre 2017. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/