RÉELS NOMBRES

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., directeur d'études à l'École des hautes études en sciences sociales

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«  RÉELS NOMBRES  » est également traité dans :

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 744 mots

Dans le chapitre « L'avènement de la théorie des ensembles et de la topologie »  : […] La notion de limite est la base même du calcul infinitésimal ; mais, bien que certains d'entre eux, dont d'Alembert, aient approché d'une définition pour nous correcte, les mathématiciens du xviii e  siècle étaient hors d'état de développer une théorie mathématique rigoureuse du « calcul », sur le modèle de la géométrie grecque, et devaient se contenter de justifications heuristiques de leurs déco […] Lire la suite

BOLZANO BERNARD (1781-1848)

  • Écrit par 
  • Jan SEBESTIK
  •  • 3 612 mots

Dans le chapitre « Le système de la « Grössenlehre » et les « Paradoxes de l'infini » »  : […] La Grössenlehre , qui date quant à l'essentiel des années 1830-1834, représente la réalisation, inachevée, du grand projet de Bolzano de donner un exposé rigoureusement scientifique de la mathématique à partir de ses premiers concepts et selon les normes de la Wissenschaftslehre . Quoique Bolzano revienne à la définition traditionnelle de la mathématique, il est le premier mathématicien à édifier […] Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable

  • Écrit par 
  • Roger GODEMENT
  •  • 16 106 mots
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Dans le chapitre « Notion de borne supérieure »  : […] Nous désignerons par R l'ensemble des nombres réels   ; il nous suffira de savoir qu'un nombre réel est un développement décimal illimité précédé d'un signe (qu'on omet s'il s'agit du signe +), par exemple le nombre − 3,141 59. ... ou bien le nombre 1 = 1,000 0.. ... = 0,999 99. ..., et que l'on peut effectuer sur ces nombres des opérations algébriques que tout le monde connaît. On peut aussi co […] Lire la suite

CANTOR GEORG (1845-1918)

  • Écrit par 
  • Hourya BENIS-SINACEUR
  •  • 2 887 mots
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Dans le chapitre « Cantor et Dedekind, une relation déterminante »  : […] Une fonction périodique d’une variable réelle s’écrit-elle de manière unique comme série convergente de fonctions trigonométriques ? Heinrich Eduard Heine (1821-1881), collègue de Cantor à Halle, pose cette question. Cantor la résout affirmativement pour le cas des fonctions continues dans son mémoire « Sur l’extension d’un théorème de la théorie des séries trigonométriques » publié en 1872 dans […] Lire la suite

CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
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Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles. Après quelques travaux en théorie des nombres et une rencontre décisive avec le mathématicien Richard Dedekind (1831-1916), Cantor s'était consacré à l'étude des séries trigonométriques et aux nombres irrationnels. Da […] Lire la suite

CONSTRUCTION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
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Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix e  siècle et surtout le début du xx e , on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire. Après de nombreuses crises, on en est arrivé à bâtir cette science sur le socle d […] Lire la suite

CONTINU HYPOTHÈSE DU

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 2 247 mots

Dans le chapitre « Une affaire terminée ? »  : […] Cantor a fondé la théorie des ensembles à la fin du xix e  siècle en montrant qu'il existe plus de nombres réels que d'entiers, et donc des infinis de tailles différentes. Le problème du continu est la question : toute partie infinie de ℝ est-elle en bijection avec ℕ ou ℝ ? Même si l'intuition suggère que ℕ est beaucoup plus petit que ℝ, il est difficile de construire un ensemble de taille inter […] Lire la suite

CONTINU & DISCRET

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
  •  • 7 679 mots

Dans le chapitre « Investissement philosophique de l'opposition »  : […] Il existe une tradition philosophique rattachant le continu à l'Identité, au Même, à la Permanence : le structuralisme, qui pensait mener un combat contre ces figures, et tout particulièrement contre l'historicisme, nous a incité à considérer de préférence cette tradition, pour mieux la rejeter. Peut-être tire-t-elle sa force de la pensée de Leibniz, si l'on veut à tout prix déterminer une origin […] Lire la suite

CONTINUITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 266 mots

Dans le chapitre « Continuité d'une fonction réelle d'une variable réelle »  : […] Intuitivement, on peut penser que le tracé d'une courbe est continu s'il peut se faire entièrement sans lever le crayon et que, dans le cas contraire, il est discontinu. Soient donc une courbe dessinée dans un plan et un point A sur cette courbe. On pourra dire qu'il y a continuité au point A si, en partant d'un point de la courbe relativement proche de A, situé d'un côté ou de l'autre de ce derni […] Lire la suite

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
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Dans le chapitre « La méthode axiomatique »  : […] Les recherches de Hilbert sur les fondements de la géométrie ont servi de point de départ à des réflexions méthodologiques et philosophiques. Depuis les Grecs, l'exposé déductif de la géométrie présenté dans les Éléments d'Euclide avait été un modèle de l'exactitude mathématique jusqu'à ce que M. Pasch, en 1882, y reconnut des hypothèses utilisées tacitement (en particulier la relation « être ent […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Jean DHOMBRES, « RÉELS NOMBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/