MÉTRIQUES ESPACES

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Espaces métriques complets

Alors qu'au chapitre précédent les notions introduites (à l'exception de l'uniforme continuité ; cf. infra) sont topologiques, les notions de ce chapitre dépendent de manière essentielle de la distance.

Suites de Cauchy

B. Bolzano et A. Cauchy ont dégagé l'importance du critère de convergence suivant, qui ne fait pas intervenir la valeur de la limite : une suite (un) de nombres réels est convergente si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que :

(cf. calcul infinitésimal – Calcul à une variable ; nombres réels). D'où le nom de suite de Cauchy donné à une suite (un) d'éléments d'un espace métrique E, de distance d, telle que, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que :

Il est facile de voir que toute suite convergente (un), de limite a, est a fortiori une suite de Cauchy. Pour tout ε > 0, il existe N tel que n ≥ N ⇒ d(un,a) < ε/2 ; pour ≥ N et ≥ N, on a donc, en appliquant l'inégalité triangulaire, d(up,uq) ≤ d(up,a) + d(a,uq) < ε. Au contraire, l'exemple de l'ensemble des nombres rationnels montre qu'une suite de Cauchy n'est pas toujours convergente. On dit qu'un espace métrique, comme Rn, dans lequel toute suite de Cauchy est convergente, c'est-à-dire dans lequel les suites de Cauchy coïncident avec les suites convergentes, est un espace complet.

Les notions de suite de Cauchy et d'espace complet ne dépendent pas que de la topologie de l'espace métrique. Pour illustrer ce fait, désignons par R1 l'ensemble des nombres réels muni de la distance usuelle, définie à partir de la valeur absolue, et par R2 ce même ensemble muni de la distance induite par celle de R− (cf. chap. 1) ; on a vu que les ouverts de R1 et R2 sont les mêmes (ce qui signifie que les deux distances sur R sont équivalentes). Considérons la suite des entiers naturels, dont le n-ième terme est l'entier n ; ce n'est manifestement pas une suite de Cauchy pour la distance usuelle sur R, mais c'est une suite de Cauchy dans R2, puisqu'elle converge vers l'élément + ∞ dans R−. D'autre part, l'espace R1 est complet, tandis que l'espace R2 ne l'est pas car [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « MÉTRIQUES ESPACES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-metriques/