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MÉTRIQUES ESPACES

Espaces métriques complets

Alors qu'au chapitre précédent les notions introduites (à l'exception de l'uniforme continuité ; cf. infra) sont topologiques, les notions de ce chapitre dépendent de manière essentielle de la distance.

Suites de Cauchy

B. Bolzano et A. Cauchy ont dégagé l'importance du critère de convergence suivant, qui ne fait pas intervenir la valeur de la limite : une suite (un) de nombres réels est convergente si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que :

(cf. calcul infinitésimal – Calcul à une variable ; nombres réels). D'où le nom de suite de Cauchy donné à une suite (un) d'éléments d'un espace métrique E, de distance d, telle que, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que :

Il est facile de voir que toute suite convergente (un), de limite a, est a fortiori une suite de Cauchy. Pour tout ε > 0, il existe N tel que n ≥ N ⇒ d(un,a) < ε/2 ; pour ≥ N et ≥ N, on a donc, en appliquant l'inégalité triangulaire, d(up,uq) ≤ d(up,a) + d(a,uq) < ε. Au contraire, l'exemple de l'ensemble des nombres rationnels montre qu'une suite de Cauchy n'est pas toujours convergente. On dit qu'un espace métrique, comme Rn, dans lequel toute suite de Cauchy est convergente, c'est-à-dire dans lequel les suites de Cauchy coïncident avec les suites convergentes, est un espace complet.

Les notions de suite de Cauchy et d'espace complet ne dépendent pas que de la topologie de l'espace métrique. Pour illustrer ce fait, désignons par R1 l'ensemble des nombres réels muni de la distance usuelle, définie à partir de la valeur absolue, et par R2 ce même ensemble muni de la distance induite par celle de R− (cf. chap. 1) ; on a vu que les ouverts de R1 et R2 sont les mêmes (ce qui signifie que les deux distances sur R sont équivalentes). Considérons la suite des entiers naturels, dont le n-ième terme est l'entier n ; ce n'est manifestement pas une suite de Cauchy pour la distance usuelle sur R, mais c'est une suite de Cauchy dans R2, puisqu'elle converge vers l'élément + ∞ dans R−. D'autre part, l'espace R1 est complet, tandis que l'espace R2 ne l'est pas car la suite (de Cauchy) des entiers naturels n'est pas convergente dans cet espace : cela tient au fait que R2 n'est pas un sous-espace fermé de l'espace métrique R− (qui est complet car isométrique au segment [− 1, + 1]) ; plus généralement, la caractérisation des fermés au moyen des suites (cf. chap. 2) montre qu'un sous-espace métrique F d'un espace métrique complet est complet si et seulement s'il est fermé dans E.

Dans l'exemple précédent, l'application identique i : R2  R1, définie par i(x) = x pour tout ∈ R, est continue, ce qui montre que l'image d'une suite de Cauchy par une application continue n'est pas nécessairement une suite de Cauchy. Par contre, les définitions montrent immédiatement que l'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est une suite de Cauchy, donc une suite convergente si l'espace d'arrivée est complet. Donnons, comme application de cette remarque, un important théorème de prolongement.

Théorème de prolongement des applications uniformément continues : Soit E un espace métrique, A un sous-ensemble partout dense de E (cela signifie, rappelons-le que tout point de E est adhérent à A) et F un espace métrique complet. Alors toute application f : A → F qui est uniformément continue se prolonge de manière unique en une application continue g : E → F ; de plus, g est uniformément continue.

Nous nous bornerons à indiquer l'idée de la démonstration. Pour x ∈ A, on doit avoir g(x) = f (x), et il faut donc définir g(x) pour x ∉ A.[...]

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Média

Inégalités de distances

Inégalités de distances

Autres références

  • COSMOLOGIE

    • Écrit par Marc LACHIÈZE-REY
    • 9 300 mots
    • 6 médias
    L'espace ordinaire est muni de trois dimensions x, y et z. Entre deux points séparés de dx en hauteur, dy en largeur et dz en profondeur, le carré de la distance s'écrit de manière simple :
    Pour généraliser à quatre dimensions, il suffit de rajouter un quatrième terme similaire correspondant...
  • FRÉCHET MAURICE (1878-1973)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 305 mots

    Mathématicien français dont le nom reste attaché principalement à l'introduction des espaces métriques en analyse fonctionnelle. Né à Maligny, Fréchet entra à l'École normale supérieure en 1900. Il fut successivement professeur de mécanique à l'université de Poitiers (1910-1919), professeur...

  • HAUSDORFF FELIX (1868-1942)

    • Écrit par Jeanne PEIFFER
    • 690 mots

    La renommée du mathématicien allemand Felix Hausdorff repose surtout sur son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre (1914), qui en fit le fondateur de la topologie et de la théorie des espaces métriques.

    Né à Breslau dans une famille de marchands aisés, Hausdorff fit ses études secondaires à...

  • HUREWICZ WITOLD (1904-1956)

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 184 mots

    Mathématicien américain d'origine polonaise, né à Łódź (Pologne) et mort à Uxmal, au Mexique. Witold Hurewicz fit ses études supérieures à Vienne, où il passa son doctorat en 1926, puis à Amsterdam, où il resta jusqu'en 1936 ; il partit ensuite pour les États-Unis, et travailla à l'Institute for...

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Voir aussi