BOLZANO-WEIERSTRASS THÉORÈME DE

Articles

• COMPACITÉ, mathématique

  • Écrit par André WARUSFEL
  • 1 019 mots

  La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que...

• MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

  • Écrit par Jean Toussaint DESANTI
  • 10 434 mots
  • 1 média
  ...construction d'une fonction continue non différentiable. On lui doit une démonstration du théorème auquel, avec celui de Weierstrass, son nom est resté attaché : « Tout ensemble infini borné de points possède au moins un point d'accumulation » (Bolzano avait démontré le théorème dans le cas d'une suite infinie bornée...

• MÉTRIQUES ESPACES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 6 080 mots
  • 1 média
  ...caractérisé par le fait qu'on peut trouver une sous-suite de la suite initiale qui converge vers ce point. Nous pouvons maintenant énoncer la propriété de Bolzano-Weierstrass, vraie pour tout espace topologique compact, mais qui caractérise les espaces métriques compacts parmi les espaces métriques : ...

• NUMÉRIQUE CALCUL

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT
  • 5 567 mots
  ...systématiquement la dichotomie pour démontrer les théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues (existence d'un maximum, continuité uniforme). Ces résultats reposent sur le théorème suivant, dit deBolzano-Weierstrass : de toute suite bornée de nombres réels, on peut extraire une suite convergente.

• TOPOLOGIE - Topologie générale

  • Écrit par Claude MORLET
  • 4 161 mots
  • 3 médias
  2. Propriété de Bolzano-Weierstrass. Soit (u_n), n ∈ N, une suite de points du compact A. Alors, il existe un point a de A tel que tout voisinage de a contienne u_n pour une infinité de valeurs de n ; un tel point a est appelé une valeur d'adhérence de la suite.