NOMBRES PREMIERS JUMEAUX

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

On dit que des nombres premiers p et q sont jumeaux si leur différence est égale à 2. Par exemple, 3 et 5 sont jumeaux ; 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, 29 et 31 le sont aussi. Si on continue, on s'aperçoit que les couples de nombres premiers jumeaux ont tendance à se raréfier, mais qu'on en trouve toujours, ce qui conduit à penser qu'il en existe une infinité. Le problème de l'existence d'une infinité de couples de nombres premiers jumeaux est un des plus anciens problèmes mathématiques, mais il résiste toujours, malgré tous les travaux qui lui ont été consacrés au cours des derniers siècles. C'est d'autant plus étonnant qu'on a tout lieu de croire que les couples de nombres premiers jumeaux sont assez fréquents : de manière précise, on conjecture (Hardy-Littlewood, 1923) que le nombre d'entiers nx tels que n et n + 2 soient tous les deux premiers est de l'ordre de cx/(log x)2, où c > 0 est une constante explicite. Viggo Brun a prouvé, en 1915, que ce nombre est plus petit que c'x/(log x)2, pour une autre constante c'.

On conjecture plus généralement (de Polignac, 1849) que, pour tout entier k pair, il existe une infinité de couples de nombres premiers p, q vérifiant qp = k. Si on fixe k, ce problème est aussi inabordable que celui des nombres premiers jumeaux qui correspond à prendre k = 2. Pourtant, le 17 avril 2013, un mathématicien d'origine chinoise peu connu de cinquante-sept ans, Yitang Zhang, enseignant dans une petite université des États-Unis après une carrière chaotique, a soumis un article au prestigieux journal Annals of Mathematics qui contenait un résultat remarquable : il existe une infinité de k pour lesquels il existe une infinité de couples de nombres premiers p, q vérifiant qp = k, et il existe un tel k < 70 000 000. Le résultat de Zhang a été vite confirmé par les experts, et une armée de mathématiciens, emmenée par Terence Tao, Médaille Fields 2006, a entrepris d'améliorer la méthode de Zhang pour faire baisser cette borne de 70 000 000. Au 23 août 2013, ils avaie [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 2 pages


Écrit par :

Pour citer l’article

Pierre COLMEZ, « NOMBRES PREMIERS JUMEAUX », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-premiers-jumeaux/