ENSEMBLES THÉORIE DES

L'algèbre des ensembles et l'étude abstraite des relations sont d'une importance croissante dans toutes les disciplines qui cherchent à s'exprimer dans un cadre rigoureux. En mathématiques, c'est l'interrogation sur les fondements de cette science, ainsi que les tentatives de formalisation des opérations logiques de la pensée qui ont conduit à l'élaboration de la théorie des ensembles ; aussi cette théorie apparaît-elle comme la base de l'édifice mathématique, dont elle constitue le langage. Dans les autres sciences, et les autres domaines du savoir, les applications de l'algèbre des ensembles et de l'algèbre des propositions sont nombreuses et ne cessent d'augmenter : en physique (étude des circuits électriques, par exemple), en sciences politiques (étude des votes en vue de prendre des décisions), en sciences sociales (par exemple, problèmes d'analyse hiérarchique), etc.

L'algèbre des ensembles n'est pas non plus étrangère aux progrès de la technique, ne serait-ce que parce qu'elle joue un grand rôle dans la conception et la construction des calculateurs électroniques ; elle intervient aussi pour une large part dans l'organisation de l'information, les techniques de gestion, les études de marché.

Parce qu'elle a une importance considérable, et aussi parce qu'elle met en évidence les opérations logiques élémentaires, la théorie des ensembles a un rôle essentiel à jouer dans la formation des esprits et intervient de plus en plus à tous les niveaux de l'enseignement. Dans l'enseignement primaire, elle est introduite à partir de manipulations de différents types de matériel conçus pour mettre en évidence les opérations qui correspondent aux mots « et » et « ou » (blocs logiques, cartes perforées. Dans le secondaire, son enseignement est devenu obligatoire, depuis 1969, à partir de la sixième. L'introduction de l'algèbre des ensembles dans l'enseignement s'accompagne généralement d'une mise à jour de la conception globale des mathématiques, ainsi que d'une évolution importante de la pédagogie, qu'on peut caractériser en deux mots, en disant qu'il ne s'agit pas d'enseigner à l'élève une science toute faite, mais de l'aider à élaborer lui-même les connaissances qu'il doit acquérir.

On ne donnera pas dans cet article une construction formelle et rigoureuse de la théorie des ensembles (cf. théorie axiomatique des ensembles), mais on essayera, à partir de quelques notions premières considérées comme intuitives, d'indiquer les résultats les plus élémentaires.

Calcul booléen

Les ensembles

Leibniz, philosophe et mathématicien (1646-1716), recherche un système qui lui permette de formaliser le langage et la pensée. Pour lui, un langage formalisé doit être une pure combinaison de signes, dont seul importe l'enchaînement, de sorte qu'une machine serait capable de fournir tous les théorèmes et que toutes les controverses se résoudraient par un simple calcul.

Leibniz, n'arrivant pas à exploiter toutes ses idées, dont certaines auraient pu le conduire à de meilleures conclusions, échoue dans sa tentative. Après lui, pendant tout le xviii^e siècle et au début du xix^e, d'autres auteurs ébauchent des tentatives semblables sans arriver à avancer plus que Leibniz. À cette époque, leurs travaux, de même que ceux de Leibniz, ne sont pas connus et n'ont qu'un très faible retentissement ; chacun ignore les travaux de ses prédécesseurs.

C'est dans les mêmes conditions que le mathématicien anglais George Boole (1815-1864) va travailler. Boole peut être considéré comme le véritable créateur de la logique contemporaine. Son ambition est de formaliser la logique en s'inspirant des méthodes de l'analyse et de l'algèbre : « Que l'on donne des formes existantes de l'analyse une interprétation quantitative n'est que le résultat des circonstances dans lesquelles elles furent établies et ne doit pas être érigé en condition universelle de l'analyse. C'est sur le fondement de ce principe général que je me propose d'établir le calcul logique et que je lui réclame une place parmi les formes reconnues de l'analyse mathématique, sans égard au fait qu'en son objet comme en ses instruments il doive actuellement demeurer en dehors d'elle » (The Mathematical Analysis of Logic, 1847).

Ce sont les travaux de Boole qui ont donné naissance à ce qu'on appelle [...]

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