ENSEMBLES THÉORIE DES
Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis
L'algèbre des ensembles et l'étude abstraite des relations sont d'une importance croissante dans toutes les disciplines qui cherchent à s'exprimer dans un cadre rigoureux. En mathématiques, c'est l'interrogation sur les fondements de cette science, ainsi que les tentatives de formalisation des opérations logiques de la pensée qui ont conduit à l'élaboration de la théorie des ensembles ; aussi cette théorie apparaît-elle comme la base de l'édifice mathématique, dont elle constitue le langage. Dans les autres sciences, et les autres domaines du savoir, les applications de l'algèbre des ensembles et de l'algèbre des propositions sont nombreuses et ne cessent d'augmenter : en physique (étude des circuits électriques, par exemple), en sciences politiques (étude des votes en vue de prendre des décisions), en sciences sociales (par exemple, problèmes d'analyse hiérarchique), etc.
L'algèbre des ensembles n'est pas non plus étrangère aux progrès de la technique, ne serait-ce que parce qu'elle joue un grand rôle dans la conception et la construction des calculateurs électroniques ; elle intervient aussi pour une large part dans l'organisation de l'information, les techniques de gestion, les études de marché.
Parce qu'elle a une importance considérable, et aussi parce qu'elle met en évidence les opérations logiques élémentaires, la théorie des ensembles a un rôle essentiel à jouer dans la formation des esprits et intervient de plus en plus à tous les niveaux de l'enseignement. Dans l'enseignement primaire, elle est introduite à partir de manipulations de différents types de matériel conçus pour mettre en évidence les opérations qui correspondent aux mots « et » et « ou » (blocs logiques, cartes perforées. Dans le secondaire, son enseignement est devenu obligatoire, depuis 1969, à partir de la sixième. L'introduction de l'algèbre des ensembles dans l'enseignement s'accompagne généralement d'une mise à jour de la conception globale des mathématiques, ainsi [...]
1
2
3
4
5
…
pour nos abonnés,
l’article se compose de 14 pages
Écrit par :
- André ROUMANET : agrégé de l'Université
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Autres références
« ENSEMBLES THÉORIE DES » est également traité dans :
CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES
Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles. Après quelques travaux en théorie des nombres et une rencontre décisive avec le mathématicien Richard Dedekind […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/cantor-theorie-des-ensembles/#i_88489
BADIOU ALAIN (1937- )
Dans le chapitre « Le multiple pur » : […] La philosophie d'Alain Badiou se présente donc comme une nouvelle doctrine de la vérité, étayée sur une théorie générale de l'événement. Mais cette pensée de l'exception, de la césure, est aussi une pensée de l'immanence radicale. En effet, les vérités (elles-mêmes multiples et non totalisables) ne sont nullement séparées du multiple, bien qu'elles ne se confondent pas avec lui. Elles coïncident a […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alain-badiou/#i_88489
BERNSTEIN FELIX (1878-1956)
Mathématicien allemand naturalisé américain, spécialiste de la théorie des ensembles puis des statistiques appliquées. Né le 24 février 1878 à Halle (Allemagne), Felix Bernstein est le fils d'un spécialiste de l'électrobiologie. Élève de Georg Cantor (1845-1918) à Halle, Bernstein démontre en 1897 son fameux théorème sur l'équivalence des ensembles : si deux ensembles A et B sont chacun équivalent […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/felix-bernstein/#i_88489
BOREL ÉMILE (1871-1956)
Dans le chapitre « Théorie des fonctions » : […] Sommation des séries divergentes. L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes , il étudie divers procédés de sommabilité, dont le plus important est la sommabilité exponentielle obtenue ainsi. Si u n est le […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/emile-borel/#i_88489
BOURBAKI NICOLAS (XXe s.)
Dans le chapitre « Construction logique et ensembliste » : […] Nicolas Bourbaki prend comme point de départ pour sa construction la logique formelle et la théorie des ensembles dont le langage est familier à tout jeune lycéen. Il introduit la notion de structure qui est le cœur de sa rigoureuse construction axiomatique. Les structures sont classées par degré de complexité. Et, de même que la chimie distingue les éléments simples à partir desquels tout peut […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/bourbaki-nicolas/#i_88489
CANTOR GEORG (1845-1918)
Georg Cantor est le mathématicien de génie qui a ouvert pour les mathématiques le paradis de l’infini . Il a développé la théorie des ensembles qui permet de traiter tout objet mathématique comme un ensemble d’éléments déterminé, fini ou infini, et a introduit le concept de transfini, qui permet une arithmétique de l’infiniment grand. C’est une rupture avec deux mille ans d’histoire, saluée avec […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/georg-cantor/#i_88489
CONCEPTUALISME, philosophie
Dans le chapitre « Le prédicativisme, expression logique du conceptualisme ontologique » : […] Pour éviter toute confusion entre ces deux usages, il serait évidemment préférable de convenir de l'utiliser pour faire référence à l'une ou bien à l'autre position. Dans Nécessité ou Contingence (1984), Jules Vuillemin réserve le terme de conceptualisme à ce que l'on a appelé le conceptualisme ontologique, et utilise le terme d'intuitionnisme pour faire référence à une position philosophique qu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/conceptualisme-philosophie/#i_88489
CONSTRUCTION, mathématique
Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix e siècle et surtout le début du xx e , on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire. Après de nombreuses crises, on en est arrivé à bâtir cette science sur le socle d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/construction-mathematique/#i_88489
FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique
Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique pouvant recueillir un soutien unanime (alors que les mathématiques, elles, avancent à grands pas et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fondationnalisme-et-antifondationnalisme-mathematique/#i_88489
FRAENKEL ADOLF ABRAHAM HALEVI (1891-1965)
Mathématicien allemand, spécialiste de la théorie des ensembles. Né le 17 évrier 1891 à Munich (Allemagne), Adolf Abraham Halevi Fraenkel fait ses études supérieures dans différentes universités, à Munich, Marburg, Berlin puis Breslau. Ses premiers travaux concernent les nombres p -adiques et la théorie des anneaux. Il enseigne à partir de 1916 à l’université de Marburg et y est nommé professeur e […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/adolf-abraham-halevi-fraenkel/#i_88489
GRAPHES THÉORIE DES
On appelle théorie des graphes une classe de problèmes d'apparence hétéroclite, plus ou moins bien résolus, mais qui suscite un engouement à la hauteur de la fascination qu'exercent ses résultats. Claude Berge (1926-2002), dans son discours inaugural des Journées internationales d'études de la théorie des graphes (Rome, 1966), déclarait : « Je remercie les deux cent cinquante participants de ce c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-graphes/#i_88489
HAUSDORFF FELIX (1868-1942)
La renommée du mathématicien allemand Felix Hausdorff repose surtout sur son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre (1914), qui en fit le fondateur de la topologie et de la théorie des espaces métriques. Né à Breslau dans une famille de marchands aisés, Hausdorff fit ses études secondaires à Leipzig, puis étudia les mathématiques et l'astronomie à Leipzig, Fribourg-en-Brisgau et Berlin. En 1891, il ob […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/felix-hausdorff/#i_88489
INTÉGRATION ET MESURE
Dans le chapitre « Formulation de la question » : […] Reprenons la question dans un cas simple : tout le monde a appris à calculer la surface ou l' aire de certaines régions du plan, et les mathématiciens des siècles passés ont consacré beaucoup d'efforts à calculer les aires de régions de plus en plus compliquées, sans jamais cependant dire très explicitement pourquoi ils menaient leurs calculs comme ils le faisaient, ni ce qu'ils attendaient du rés […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/integration-et-mesure/#i_88489
MATHÉMATIQUE
Dans le chapitre « Une science hypothético-déductive » : […] S'appuyant sur une logique généralement bivalente (à deux valeurs : vrai et faux), la mathématique se développe à partir d'un petit nombre de notions premières indéfinissables, d'hypothèses appelées axiomes, non démontrables mais mettant en relation ces notions premières, et de règles permettant de définir de nouvelles notions, de former des expressions et d'en déduire de nouvelles. Parmi les not […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/mathematique/#i_88489
MEYER YVES (1939- )
Dans le chapitre « Des contributions très variées » : […] Une caractéristique d’Yves Meyer est l’éclectisme dans le choix de ses thèmes de recherche. Même si les ondelettes constituent une part majeure de ses travaux, il a contribué à une grande variété de domaines des mathématiques. Jeune, il s’intéresse à l’interface entre les séries de Fourier et la théorie des nombres, ce qui l’amène à construire la théorie des ensembles modèles : il s’agit de conce […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/yves-meyer/#i_88489
NICOLAS BOURBAKI (A. Aczel)
Sous-titré « Histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé », le livre (éd. J.-C. Lattès, Paris, 2009) qu'Amir Aczel – chercheur au Centre d'histoire des sciences de l'université de Boston (États-Unis) – consacre au groupe Bourbaki et à son influence sur les mathématiques du xx e siècle est un hommage objectif et fort documenté aux réalisations de quelques mathématiciens. Ces dernie […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nicolas-bourbaki/#i_88489
NOMBRES
Dans le chapitre « Notion mathématique de nombre » : […] La fondation de la théorie des ensembles par Georg Cantor à la fin du xix e siècle a permis de donner d'un nombre une définition mathématique précise. Dans le cadre d'un système axiomatique de la théorie des ensembles, en général celui de Zermelo et Fraenkel, les ensembles de nombres sont définis les uns à partir des autres, comme une construction abstraite, les nombres étant eux-mêmes des ensemb […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombre/#i_88489
NUMÉRATION
Dans le chapitre « Cardinaux » : […] Plusieurs ensembles d'objets étant donnés, on peut opérer un classement en rangeant dans une même « classe » les ensembles ayant autant d'éléments. Les ensembles d'une même classe sont dits « équipotents ». Ces exercices présentent l'inconvénient de ne porter que sur des ensembles finis, mais permettent de bien mettre en évidence la notion d' équipotence entre ensembles. L'équipotence entre ensemb […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/numeration/#i_88489
Voir aussi
Pour citer l’article
André ROUMANET, Jean-Luc VERLEY, « ENSEMBLES THÉORIE DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/ensembles-theorie-des-theorie-elementaire/