LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Articles associés

• ACKERMANN WILHELM (1896-1962)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 327 mots

  Mathématicien allemand, spécialiste de la logique. Né le 29 mars 1896 à Schönebeck, près d'Altena en Westphalie (alors en Prusse, aujourd'hui en Allemagne), Wilhelm Ackermann fait ses études supérieures à l'université de Göttingen. Dans sa thèse, accomplie sous la direction...

• ANALYSE NON STANDARD

  • Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
  • 1 242 mots

  Au milieu du xx ^e siècle, le mathématicien et logicien Abraham Robinson (1918-1974) est parvenu à refonder la notion d'infinitésimale –  de grandeur infiniment petite – dont Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) étaient supposés avoir délivré la communauté ...

• AXIOMATIQUE

  • Écrit par Georges GLAESER
  • 1 791 mots

  La méthode axiomatique est un mode d'exposition des sciences exactes fondé sur des propositions admises sans démonstration et nettement formulées et des raisonnements rigoureux. On se limitera ici à quelques indications méthodologiques et historiques, en renvoyant à l'article logique...

• BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 535 mots
  • 1 média

  La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités)...

• BOOLE GEORGE (1815-1864)

  • Écrit par Universalis
  • 583 mots

  Mathématicien et logicien anglais, Boole est le créateur de la logique symbolique. Né à Lincoln et fils d'un petit commerçant, il reçut ses premières leçons de mathématiques de son père, qui lui apprit aussi à fabriquer des instruments d'optique. En dehors des conseils de son père et de...

• BOURBAKI NICOLAS (XX^e s.)

  • Écrit par André MARTINEAU
  • 1 531 mots
  • 1 média
  Nicolas Bourbaki prend comme point de départ pour sa construction la logique formelle et la théorie des ensembles dont le langage est familier à tout jeune lycéen. Il introduit la notion de structure qui est le cœur de sa rigoureuse construction axiomatique. Les structures sont classées par degré...

• BROUWER LUITZEN (1881-1966)

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 103 mots

  Logicien et mathématicien hollandais, né à Amsterdam, Brouwer est l'un des fondateurs de la topologie algébrique. Il en a démontré l'un des plus beaux théorèmes, le théorème du point fixe, dont les applications et généralisations, de la théorie des jeux aux équations différentielles, se sont...

• CHURCH ALONZO (1903-1995)

  • Écrit par Françoise ARMENGAUD
  • 542 mots

  Mathématicien et logicien, philosophe et historien de la logique, Alonzo Church est né le 14 juin 1903 à Washington et mort le 11 août 1995 à Hudson (Ohio). Professeur de mathématiques à l'université de Princeton, directeur du Journal of Symbolic Logic, il est selon...

• COGNITIVES SCIENCES

  • Écrit par Daniel ANDLER
  • 16 951 mots
  • 4 médias
  C'est encore la logique des années 1930 (avec les travaux d'Alan Turing et d'Alonzo Church) qui rend possible une réponse déterminée à la question 3. En effet, nous savons depuis cette époque que si par calcul on entend une suite finie d'opérations sur des symboles ou éléments discrets (ce qu'on...

• COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 136 mots

  Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie...

• CONSTRUCTIVISME, mathématique

  • Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
  • 1 208 mots
  ...traditions se séparent les unes des autres, selon qu'elles réservent leurs critiques à certaines techniques usuelles de définition des objets mathématiques, ou qu'elles adressent aussi des objections à la logique classique elle-même. La situation suivante montre, en effet, qu'une telle remise en question...

• CONTINU & DISCRET

  • Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
  • 6 752 mots
  Il faut distinguer un emploi adjectival du mot continu, principalement dans la locution application continue, de son emploi substantif, lorsqu'on parle du continu. Dans le premier emploi, continu désigne un caractère de régularité : les applications continues ne prennent jamais une valeur en...

• CONTINU HYPOTHÈSE DU

  • Écrit par Patrick DEHORNOY
  • 1 954 mots
  On ne sait pas encore si ZFC+MMW est une solution pour H ₂, mais la partie manquante s'exprime simplement dans le contexte de la Ω-logique, nouvelle logique introduite en 1999 par Woodin dont le but est, en quelque sorte, de voir net malgré le flou introduit par le forcing.

• DÉMONSTRATION (notions de base)

  • Écrit par Philippe GRANAROLO
  • 2 715 mots
  ...peut comprendre la séduction qu’a opérée sur les Grecs des v ^e et iv ^e siècles avant notre ère ce discours inouï qu’est le discours mathématique. Pour ce faire, il est nécessaire de distinguer « science faite » et « science se faisant ». Au collège ou au lycée, on apprend des théorèmes...

• DE MORGAN AUGUSTUS (1806-1871)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 408 mots
  • 1 média

  Augustus De Morgan est un mathématicien britannique, spécialiste de logique. Cinquième fils d'un officier de l'armée britannique en service en Inde au moment de sa naissance, il est né le 27 juin 1806 à Madurai dans le sud du pays (auj. État de Tamil Nadu). Il perd l'usage d'un œil dans sa prime enfance...

• EMPIRISME

  • Écrit par Edmond ORTIGUES
  • 11 725 mots
  • 1 média
  ...conduit à voir dans les principes de la science des principes hypothétiques (plutôt que des nécessités métaphysiques comme dans la scientia médiévale). Et c'est le développement de la logique mathématique qui a renouvelé l'analyse des rapports entre langage et réalité. La philosophie de Russell – semblable,...

• ENSEMBLES THÉORIE DES

  • Écrit par André ROUMANET, Jean-Luc VERLEY
  • 7 570 mots
  • 20 médias
  ...mêmes conditions que le mathématicien anglais George Boole (1815-1864) va travailler. Boole peut être considéré comme le véritable créateur de la logique contemporaine. Son ambition est de formaliser la logique en s'inspirant des méthodes de l'analyse et de l'algèbre : « Que l'on donne des formes...

• FORMALISME

  • Écrit par Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY
  • 4 401 mots
  • 1 média
  Cela ne signifie pas qu'il n'y ait aucun moyen de distinguer rigoureusement entre axiomes « logiques » et axiomes « mathématiques ». Cette distinction est une question d'interprétation du système formel, c'est-à-dire de construction d'un modèle, ensemble d'objets mathématiques qui peuvent être mis en...

• FREGE GOTTLOB (1848-1925)

  • Écrit par Claude IMBERT
  • 2 868 mots

  Professeur de mathématiques à l'université d'Iéna, Gottlob Frege est le fondateur de la logique moderne ou logique mathématique, selon l'appellation due à Giuseppe Peano et universellement admise. Longtemps méconnus, ses travaux furent révélés au public savant par Bertrand...

• GÖDEL KURT (1906-1978)

  • Écrit par Daniel ANDLER
  • 2 017 mots

  Issue de la pensée de Boole, de Cantor et de Frege au cours de la seconde moitié du xix ^e siècle, la logique mathématique connaît ses premiers développements grâce à Hilbert et à Russell et Whitehead (premier quart du xx ^e siècle). Mais c'est à Kurt Gödel plus qu'à tout autre qu'elle doit...

• GENTZEN GERHARD (1909-1945)

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 117 mots

  Logicien allemand, né à Greifswald et mort à Prague lors de son emprisonnement par les Soviétiques. Gentzen a développé l'étude des systèmes de déduction naturelle et établi un théorème d'élimination des coupures. Gerhard Gentzen a également donné une démonstration de consistance de l'arithmétique...

• HERBRAND JACQUES (1908-1931)

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 77 mots

  Logicien et mathématicien français né à Paris et mort à Saint-Christophe-en-Oisans dans un accident de montagne. La brève carrière de Jacques Herbrand est marquée par sa démonstration, essentiellement correcte, d'un théorème central du calcul des prédicats du premier ordre, qui...

• IDÉALISME

  • Écrit par Jean LARGEAULT
  • 8 390 mots
  ...indirectement des objets. Ce serait à ce niveau – la théorie du concept – qu'il faudrait se placer pour décider de l'idéalisme ou du réalisme en logique. La logique mathématique contemporaine, à la différence de la logique ancienne, ne comporte pas de théorie du concept. Elle est une théorie des techniques...

• INFINI, mathématiques

  • Écrit par Jean Toussaint DESANTI
  • 9 128 mots
  ...donc ne vaut que pour autant qu'on est capable de produire une théorie correcte de ce champ, de même, ici, il est à prévoir que la validité du concept d'infini actuel va être liée à la possibilité d'établir sur un fondementlogique solide la théorie du champ où sont définies les « puissances ».

• INTUITIONNISME

  • Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
  • 1 450 mots
  ...communiquées intégralement et sans résidu par le biais de leur écriture dans des systèmes formels de type approprié. Nulle surprise, dans ces conditions, si la logique répondant aux principes intuitionnistes est en large désaccord avec la logique « classique », pour laquelle une proposition est vraie ou fausse...

• KLEENE STEPHEN COLE (1909-1994)

  • Écrit par Pierre GOUJON
  • 327 mots

  Mathématicien américain né à Hartford (Connecticut). Diplômé de l'Amherst College, Stephen C. Kleene entre, en 1930, à l'université de Princeton. Il est docteur de la même université en 1934. Dès cette époque, il partage son temps entre l'enseignement (université du Wisconsin) et la...

• LA PREUVE EN MATHÉMATIQUE (colloque)

  • Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
  • 986 mots

  Du 24 au 28 mai 2005 s'est tenu à l'université Charles-de-Gaulle - Lille-III un colloque international intitulé « La preuve en mathématique : logique, philosophie, histoire ». Le projet de cette manifestation remonte à une préoccupation ancienne et profonde des spécialistes de philologie et d'herméneutique...

• LES LOIS DE LA PENSÉE (G. Boole)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 167 mots

  Le mathématicien britannique Georges Boole (1815-1864) est le fondateur de la logique symbolique moderne. Autodidacte sans aucun titre universitaire, il soutient que la logique doit être rattachée aux mathématiques et non à la philosophie. En 1854, il publie l'exposé abouti de ses idées dans...

• LOGIQUE

  • Écrit par Robert BLANCHÉ, Jan SEBESTIK
  • 11 415 mots
  • 3 médias
  ...Mais elle n'y parvient qu'imparfaitement, étant trop assujettie au langage naturel, avec ses irrégularités logiques, et à la forme orale de ce langage. Le modèle dont il faut s'inspirer, c'est celui de l' algèbre, dont le langage est constitué entièrement de symboles visuels, et dont...

• MALTSEV ANATOLI IVANOVITCH (1909-1967)

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 559 mots

  Mathématicien soviétique, célèbre pour ses travaux en logique et en algèbre. Les premiers écrits de Maltsev contiennent les idées essentielles d'une bonne partie de son œuvre. Dans son premier et plus célèbre article, Untersuchungen aus dem Gebiete der Mathematischen...

• MARTIN ROGER (1920-1979)

  • Écrit par Jan SEBESTIK
  • 999 mots

  Professeur de logique formelle à l'université de Paris-V, Roger Martin fut un des représentants français les plus éminents de cette discipline. Né au Puy le 17 mars 1920, il prépare au lycée Henry-IV, après ses études secondaires au lycée Buffon, le concours d'entrée à l'École normale...

• MATHÉMATIQUE ÉPISTÉMOLOGIE DE LA

  • Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
  • 2 532 mots
  Pour toute une école qui prend son inspiration dans l'invention de la logique contemporaine par Gottlob Frege (1848-1925) et Bertrand Russell (1872-1970), et l'entreprise qui fut la leur d'une nouvelle philosophie exacte suivant les rails de cette logique, le problème de l'épistémologie...

• MATHÉMATIQUES ENSEIGNEMENT DES

  • Écrit par André REVUZ
  • 3 653 mots
  • 1 média

  Les problèmes que pose tout enseignement sont extrêmement complexes ; ils sont liés à l'état de la société, à sa structure, à son développement économique et technique et à l'idée qu'elle se fait de son avenir. Les aborder dans leur totalité et leur généralité n'est...

• MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

  • Écrit par Jean Toussaint DESANTI
  • 9 182 mots
  • 1 média
  ...demi-siècle, concernaient le statut des théories mathématiques. Au cœur de ces problèmes se posait la question de la relation des mathématiques à une logique qu'il importait de produire. Avec Bolzano, la question des fondements commence à émerger de sa préhistoire. Elle en émerge complètement, au début...

• MODÉLISATION, mathématique

  • Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
  • 1 384 mots
  La notion de modèle en logique s'attache à établir le lien précis entre les formules – qui sont des objets finis purement syntaxiques – et les structures elles-mêmes (construites de manière ensembliste), qui pourront posséder ou non les propriétés exprimées par les formules.

• MODÈLE

  • Écrit par Raymond BOUDON, Hubert DAMISCH, Jean GOGUEL, Sylvanie GUINAND, Bernard JAULIN, Noël MOULOUD, Jean-François RICHARD, Bernard VICTORRI
  • 21 528 mots
  • 2 médias

  Le langage de la philosophie aiderait peu à éclairer l'origine de la notion de modèle, qui a reçu un emploi très large dans la méthodologie des sciences. Cette origine est technologique : le modèle est d'abord la «  maquette », l'objet réduit et maniable qui reproduit en lui,...

• MODÈLES THÉORIE DES

  • Écrit par Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH
  • 6 865 mots

  « Modèle » est un terme qui appartient au vocabulaire de la plupart des sciences et qui a des significations multiples. Ainsi, dans les sciences humaines, on entend généralement par modèle une théorie conçue pour expliquer un ensemble de phénomènes, alors qu'en logique mathématique...

• NOTATION MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Hans FREUDENTHAL
  • 9 097 mots
  • 1 média
  Boole, Peirce, E. Schröder et Peano employaient souvent les mêmes symboles au sens logique et au sens ensembliste. Pour la conjonction, Russell et Whitehead adoptaient l'écriture multiplicative de Boole et d'autres, tandis que pour la disjonction ils introduisirent le symbole ∨. Hilbert...

• PHILOSOPHIE ANALYTIQUE

  • Écrit par Francis JACQUES, Denis ZASLAWSKY
  • 11 817 mots
  • 3 médias
  ...de l'empirisme logique), et des auteurs – principalement américains – qui l'ont prolongée après la guerre, nous avons reçu aujourd'hui deux héritages. Le premier est celui de la logique mathématique, issue d'abord des œuvres de Frege, Russell et Wittgenstein, et rapidement devenue ensuite une branche...

• POST EMIL LEON (1897-1954)

  • Écrit par Bernard JAULIN
  • 548 mots

  Mathématicien américain né à Augustów (Pologne) et mort à New York. Arrivé aux États-Unis en 1904, Emil Post obtint son Ph.D. à l'université Columbia de New York en 1920. Il était membre de l'American Mathematical Society depuis 1918 et de l'Association for Symbolic Logic dès...

• PRÉDICATIVISME, mathématique

  • Écrit par Philippe de ROUILHAN
  • 886 mots

  Doctrine selon laquelle certaines définitions naïvement reçues de la logique ou des mathématiques classiques recèlent une certaine sorte de circularité qu'on retrouve à l'origine de tous les grands paradoxes et qui, même quand elle n'y conduit pas, devrait être interdite. ...

• PRÉDICATS CALCUL DES

  • Écrit par Françoise ARMENGAUD
  • 244 mots

  Dans la logique aristotélicienne, la distinction du sujet et du prédicat est à la fois d'ordre linguistique (grammatical), d'ordre ontologique (la substance et ce qu'on peut dire d'elle) et d'ordre logique. Le prédicat est affirmé d'un sujet ; il est dit lui appartenir : « La blancheur appartient...

• RÉALISME, mathématique

  • Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
  • 1 907 mots
  ...située dans le temps et l'espace, et l'objectivité, qui fonde l'identité transindividuelle et transculturelle des concepts mathématiques. L'origine de cette distinction, explicitement introduite par Frege, vient de la théorie logique des significations objectives de Bolzano. Les significations...

• RELATION

  • Écrit par Jean LADRIÈRE
  • 6 658 mots
  ...déductives contenues dans ces propositions (c'est-à-dire qu'il est exprimé par ces propositions et toutes celles qui en dérivent). C'est dans le cadre de la logique mathématique que cette méthode a été appliquée à la notion de relation. Auguste De Morgan (1806-1871) est considéré comme le véritable fondateur...

• ROBINSON ABRAHAM (1918-1974)

  • Écrit par Daniel ANDLER
  • 992 mots

  Mathématicien et logicien américain d'origine allemande.

  Né à Waldenburg, en Allemagne (l'actuelle Walbrzych polonaise), dans une famille intellectuelle sioniste, Abraham Robinson émigre en Palestine avec sa famille en 1933. Tout en gagnant sa vie et en suivant l'entraînement...

• ROBINSON JULIA (1919-1985)

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 891 mots

  Née le 8 décembre 1919 à Saint. Louis, dans le Missouri, Julia Robinson fut une logicienne éminente et la mathématicienne américaine la plus connue du xx ^e siècle. Épouse d'un mathématicien de grand talent, Raphael M. Robinson, professeur à l'université de Californie à Berkeley, elle vit sa...

• RUSSELL BERTRAND lord (1872-1970)

  • Écrit par Philippe DEVAUX
  • 5 355 mots
  • 1 média
  Le projet de Russell commence par un effort de logicisation de l'arithmétique, qui sera suivi par l'élaboration du calcul des propositions, du calcul des classes et du calcul des relations.

• SCIENCES ET PHILOSOPHIE

  • Écrit par Alain BOUTOT
  • 15 588 mots
  • 6 médias
  Le cercle de Vienne a transformé l'empirisme classique en un empirisme logique, en intégrant l'apport de la logique mathématique nouvellement créée par Frege. Il s'est formé, au début des années 1920, autour du physicien Moritz Schlick, titulaire de la chaire de « philosophie des sciences...

• SCIENCES - Sciences et discours rationnel

  • Écrit par Jean LADRIÈRE
  • 5 838 mots
  ...spécification : celle d'une sous-classe déterminée de la classe en question (formée des axiomes) et celle d'un certain nombre de règles de déduction. Les théories logiques comme les théories mathématiques peuvent être érigées en systèmes formels. On peut donc présenter les sciences mathématiques et logiques...

• SKOLEM ALBERT THORALF (1887-1963)

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 387 mots

  Logicien et mathématicien norvégien né à Sandsvaer et mort à Oslo. Ses travaux en algèbre (théorème de Skolem-Noether pour les algèbres associatives) et en théorie des nombres (introduction des méthodes p-adiques dans la théorie des équations diophantiennes), qui lui...

• TARSKI ALFRED (1902-1983)

  • Écrit par Jan SEBESTIK
  • 945 mots
  Il s'est occupé de la théorie des ensembles et de la logique mathématique, tout particulièrement de la métamathématique et de la sémantique (théorie des modèles). Parmi ses contributions les plus importantes à la mathématique pure, il faut citer sa théorie des cardinaux inaccessibles...

• TURING ALAN MATHISON (1912-1954)

  • Écrit par B. Jack COPELAND
  • 1 374 mots
  • 1 média

  Mathématicien et logicien britannique, Alan Turing apporta une contribution majeure aux mathématiques, au décryptage, à la logique, à la philosophie, à la biologie et à de nouveaux domaines du savoir qui allaient par la suite être baptisés informatique, sciences cognitives, intelligence...

• TURING MACHINE DE

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 173 mots

  Dans l'article « On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem », publié en 1936 dans les Proceedings of the Mathematical Society, Alan Mathison Turing (1912-1954) montre qu'il existe des nombres définissables qui ne sont pas calculables. Cela implique qu'il...

• WHITEHEAD ALFRED NORTH (1861-1947)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY, Jean WAHL
  • 1 940 mots

  Exploitant certaines conceptions de logique mathématique, Alfred North Whitehead collabora avec Bertrand Russell aux Principia mathematica, qui sont un des points de départ les plus importants des considérations logiques en Angleterre et en Amérique. On peut exposer sa philosophie en fonction...

• ZERMELO ERNST (1871-1953)

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 165 mots

  Mathématicien et logicien allemand, né à Berlin et mort à Fribourg-en-Brisgau, fondateur de la théorie axiomatique des ensembles. En 1904, Ernst Zermelo explicite l'axiome du choix et en déduit que tout ensemble peut être bien ordonné, résultat déjà conjecturé par Moritz Cantor et...

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