LOGIQUE MATHÉMATIQUE
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ACKERMANN WILHELM (1896-1962)
- Écrit par Bernard PIRE
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ANALYSE NON STANDARD
- Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
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Au milieu du xx e siècle, le mathématicien et logicien Abraham Robinson (1918-1974) est parvenu à refonder la notion d'infinitésimale – de grandeur infiniment petite – dont Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) étaient supposés avoir délivré la communauté ...
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AXIOMATIQUE
- Écrit par Georges GLAESER
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La méthode axiomatique est un mode d'exposition des sciences exactes fondé sur des propositions admises sans démonstration et nettement formulées et des raisonnements rigoureux. On se limitera ici à quelques indications méthodologiques et historiques, en renvoyant à l'article logique...
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BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE
- Écrit par Gabriel SABBAGH
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La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités)...
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BOOLE GEORGE (1815-1864)
- Écrit par Universalis
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BOURBAKI NICOLAS (XXe s.)
- Écrit par André MARTINEAU
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Nicolas Bourbaki prend comme point de départ pour sa construction la logique formelle et la théorie des ensembles dont le langage est familier à tout jeune lycéen. Il introduit la notion de structure qui est le cœur de sa rigoureuse construction axiomatique. Les structures sont classées par degré... -
BROUWER LUITZEN (1881-1966)
- Écrit par Gabriel SABBAGH
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CHURCH ALONZO (1903-1995)
- Écrit par Françoise ARMENGAUD
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COGNITIVES SCIENCES
- Écrit par Daniel ANDLER
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COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)
- Écrit par Gabriel SABBAGH
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CONSTRUCTIVISME, mathématique
- Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
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...traditions se séparent les unes des autres, selon qu'elles réservent leurs critiques à certaines techniques usuelles de définition des objets mathématiques, ou qu'elles adressent aussi des objections à la logique classique elle-même. La situation suivante montre, en effet, qu'une telle remise en question... -
CONTINU & DISCRET
- Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
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CONTINU HYPOTHÈSE DU
- Écrit par Patrick DEHORNOY
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DÉMONSTRATION (notions de base)
- Écrit par Philippe GRANAROLO
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DE MORGAN AUGUSTUS (1806-1871)
- Écrit par Bernard PIRE
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Augustus De Morgan est un mathématicien britannique, spécialiste de logique. Cinquième fils d'un officier de l'armée britannique en service en Inde au moment de sa naissance, il est né le 27 juin 1806 à Madurai dans le sud du pays (auj. État de Tamil Nadu). Il perd l'usage d'un œil dans sa prime enfance...
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EMPIRISME
- Écrit par Edmond ORTIGUES
- 11 725 mots
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...conduit à voir dans les principes de la science des principes hypothétiques (plutôt que des nécessités métaphysiques comme dans la scientia médiévale). Et c'est le développement de la logique mathématique qui a renouvelé l'analyse des rapports entre langage et réalité. La philosophie de Russell – semblable,... -
ENSEMBLES THÉORIE DES
- Écrit par André ROUMANET, Jean-Luc VERLEY
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...mêmes conditions que le mathématicien anglais George Boole (1815-1864) va travailler. Boole peut être considéré comme le véritable créateur de la logique contemporaine. Son ambition est de formaliser la logique en s'inspirant des méthodes de l'analyse et de l'algèbre : « Que l'on donne des formes... -
FORMALISME
- Écrit par Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY
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Cela ne signifie pas qu'il n'y ait aucun moyen de distinguer rigoureusement entre axiomes « logiques » et axiomes « mathématiques ». Cette distinction est une question d'interprétation du système formel, c'est-à-dire de construction d'un modèle, ensemble d'objets mathématiques qui peuvent être mis en... -
FREGE GOTTLOB (1848-1925)
- Écrit par Claude IMBERT
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Professeur de mathématiques à l'université d'Iéna, Gottlob Frege est le fondateur de la logique moderne ou logique mathématique, selon l'appellation due à Giuseppe Peano et universellement admise. Longtemps méconnus, ses travaux furent révélés au public savant par Bertrand...
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GÖDEL KURT (1906-1978)
- Écrit par Daniel ANDLER
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Issue de la pensée de Boole, de Cantor et de Frege au cours de la seconde moitié du xix e siècle, la logique mathématique connaît ses premiers développements grâce à Hilbert et à Russell et Whitehead (premier quart du xx e siècle). Mais c'est à Kurt Gödel plus qu'à tout autre qu'elle doit...
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GENTZEN GERHARD (1909-1945)
- Écrit par Gabriel SABBAGH
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Logicien allemand, né à Greifswald et mort à Prague lors de son emprisonnement par les Soviétiques. Gentzen a développé l'étude des systèmes de déduction naturelle et établi un théorème d'élimination des coupures. Gerhard Gentzen a également donné une démonstration de consistance de l'arithmétique...
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HERBRAND JACQUES (1908-1931)
- Écrit par Gabriel SABBAGH
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Logicien et mathématicien français né à Paris et mort à Saint-Christophe-en-Oisans dans un accident de montagne. La brève carrière de Jacques Herbrand est marquée par sa démonstration, essentiellement correcte, d'un théorème central du calcul des prédicats du premier ordre, qui...
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IDÉALISME
- Écrit par Jean LARGEAULT
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...indirectement des objets. Ce serait à ce niveau – la théorie du concept – qu'il faudrait se placer pour décider de l'idéalisme ou du réalisme en logique. La logique mathématique contemporaine, à la différence de la logique ancienne, ne comporte pas de théorie du concept. Elle est une théorie des techniques... -
INFINI, mathématiques
- Écrit par Jean Toussaint DESANTI
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...donc ne vaut que pour autant qu'on est capable de produire une théorie correcte de ce champ, de même, ici, il est à prévoir que la validité du concept d'infini actuel va être liée à la possibilité d'établir sur un fondementlogique solide la théorie du champ où sont définies les « puissances ». -
INTUITIONNISME
- Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
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...communiquées intégralement et sans résidu par le biais de leur écriture dans des systèmes formels de type approprié. Nulle surprise, dans ces conditions, si la logique répondant aux principes intuitionnistes est en large désaccord avec la logique « classique », pour laquelle une proposition est vraie ou fausse... -
KLEENE STEPHEN COLE (1909-1994)
- Écrit par Pierre GOUJON
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LA PREUVE EN MATHÉMATIQUE (colloque)
- Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
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Du 24 au 28 mai 2005 s'est tenu à l'université Charles-de-Gaulle - Lille-III un colloque international intitulé « La preuve en mathématique : logique, philosophie, histoire ». Le projet de cette manifestation remonte à une préoccupation ancienne et profonde des spécialistes de philologie et d'herméneutique...
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LES LOIS DE LA PENSÉE (G. Boole)
- Écrit par Bernard PIRE
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LOGIQUE
- Écrit par Robert BLANCHÉ, Jan SEBESTIK
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...Mais elle n'y parvient qu'imparfaitement, étant trop assujettie au langage naturel, avec ses irrégularités logiques, et à la forme orale de ce langage. Le modèle dont il faut s'inspirer, c'est celui de l' algèbre, dont le langage est constitué entièrement de symboles visuels, et dont... -
MALTSEV ANATOLI IVANOVITCH (1909-1967)
- Écrit par Gabriel SABBAGH
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Mathématicien soviétique, célèbre pour ses travaux en logique et en algèbre. Les premiers écrits de Maltsev contiennent les idées essentielles d'une bonne partie de son œuvre. Dans son premier et plus célèbre article, Untersuchungen aus dem Gebiete der Mathematischen...
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MARTIN ROGER (1920-1979)
- Écrit par Jan SEBESTIK
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Professeur de logique formelle à l'université de Paris-V, Roger Martin fut un des représentants français les plus éminents de cette discipline. Né au Puy le 17 mars 1920, il prépare au lycée Henry-IV, après ses études secondaires au lycée Buffon, le concours d'entrée à l'École normale...
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MATHÉMATIQUE ÉPISTÉMOLOGIE DE LA
- Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
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Pour toute une école qui prend son inspiration dans l'invention de la logique contemporaine par Gottlob Frege (1848-1925) et Bertrand Russell (1872-1970), et l'entreprise qui fut la leur d'une nouvelle philosophie exacte suivant les rails de cette logique, le problème de l'épistémologie... -
MATHÉMATIQUES ENSEIGNEMENT DES
- Écrit par André REVUZ
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Les problèmes que pose tout enseignement sont extrêmement complexes ; ils sont liés à l'état de la société, à sa structure, à son développement économique et technique et à l'idée qu'elle se fait de son avenir. Les aborder dans leur totalité et leur généralité n'est...
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MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES
- Écrit par Jean Toussaint DESANTI
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...demi-siècle, concernaient le statut des théories mathématiques. Au cœur de ces problèmes se posait la question de la relation des mathématiques à une logique qu'il importait de produire. Avec Bolzano, la question des fondements commence à émerger de sa préhistoire. Elle en émerge complètement, au début... -
MODÉLISATION, mathématique
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MODÈLE
- Écrit par Raymond BOUDON, Hubert DAMISCH, Jean GOGUEL, Sylvanie GUINAND, Bernard JAULIN, Noël MOULOUD, Jean-François RICHARD, Bernard VICTORRI
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Le langage de la philosophie aiderait peu à éclairer l'origine de la notion de modèle, qui a reçu un emploi très large dans la méthodologie des sciences. Cette origine est technologique : le modèle est d'abord la « maquette », l'objet réduit et maniable qui reproduit en lui,...
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MODÈLES THÉORIE DES
- Écrit par Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH
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NOTATION MATHÉMATIQUE
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PHILOSOPHIE ANALYTIQUE
- Écrit par Francis JACQUES, Denis ZASLAWSKY
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...de l'empirisme logique), et des auteurs – principalement américains – qui l'ont prolongée après la guerre, nous avons reçu aujourd'hui deux héritages. Le premier est celui de la logique mathématique, issue d'abord des œuvres de Frege, Russell et Wittgenstein, et rapidement devenue ensuite une branche... -
POST EMIL LEON (1897-1954)
- Écrit par Bernard JAULIN
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PRÉDICATIVISME, mathématique
- Écrit par Philippe de ROUILHAN
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PRÉDICATS CALCUL DES
- Écrit par Françoise ARMENGAUD
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Dans la logique aristotélicienne, la distinction du sujet et du prédicat est à la fois d'ordre linguistique (grammatical), d'ordre ontologique (la substance et ce qu'on peut dire d'elle) et d'ordre logique. Le prédicat est affirmé d'un sujet ; il est dit lui appartenir : « La blancheur appartient...
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RÉALISME, mathématique
- Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
- 1 907 mots
...située dans le temps et l'espace, et l'objectivité, qui fonde l'identité transindividuelle et transculturelle des concepts mathématiques. L'origine de cette distinction, explicitement introduite par Frege, vient de la théorie logique des significations objectives de Bolzano. Les significations... -
RELATION
- Écrit par Jean LADRIÈRE
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...déductives contenues dans ces propositions (c'est-à-dire qu'il est exprimé par ces propositions et toutes celles qui en dérivent). C'est dans le cadre de la logique mathématique que cette méthode a été appliquée à la notion de relation. Auguste De Morgan (1806-1871) est considéré comme le véritable fondateur... -
ROBINSON ABRAHAM (1918-1974)
- Écrit par Daniel ANDLER
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ROBINSON JULIA (1919-1985)
- Écrit par Gabriel SABBAGH
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RUSSELL BERTRAND lord (1872-1970)
- Écrit par Philippe DEVAUX
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SCIENCES ET PHILOSOPHIE
- Écrit par Alain BOUTOT
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Le cercle de Vienne a transformé l'empirisme classique en un empirisme logique, en intégrant l'apport de la logique mathématique nouvellement créée par Frege. Il s'est formé, au début des années 1920, autour du physicien Moritz Schlick, titulaire de la chaire de « philosophie des sciences... -
SCIENCES - Sciences et discours rationnel
- Écrit par Jean LADRIÈRE
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...spécification : celle d'une sous-classe déterminée de la classe en question (formée des axiomes) et celle d'un certain nombre de règles de déduction. Les théories logiques comme les théories mathématiques peuvent être érigées en systèmes formels. On peut donc présenter les sciences mathématiques et logiques... -
SKOLEM ALBERT THORALF (1887-1963)
- Écrit par Gabriel SABBAGH
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Logicien et mathématicien norvégien né à Sandsvaer et mort à Oslo. Ses travaux en algèbre (théorème de Skolem-Noether pour les algèbres associatives) et en théorie des nombres (introduction des méthodes p-adiques dans la théorie des équations diophantiennes), qui lui...
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TARSKI ALFRED (1902-1983)
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Il s'est occupé de la théorie des ensembles et de la logique mathématique, tout particulièrement de la métamathématique et de la sémantique (théorie des modèles). Parmi ses contributions les plus importantes à la mathématique pure, il faut citer sa théorie des cardinaux inaccessibles... -
TURING ALAN MATHISON (1912-1954)
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Mathématicien et logicien britannique, Alan Turing apporta une contribution majeure aux mathématiques, au décryptage, à la logique, à la philosophie, à la biologie et à de nouveaux domaines du savoir qui allaient par la suite être baptisés informatique, sciences cognitives, intelligence...
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TURING MACHINE DE
- Écrit par Bernard PIRE
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Dans l'article « On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem », publié en 1936 dans les Proceedings of the Mathematical Society, Alan Mathison Turing (1912-1954) montre qu'il existe des nombres définissables qui ne sont pas calculables. Cela implique qu'il...
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WHITEHEAD ALFRED NORTH (1861-1947)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY, Jean WAHL
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Exploitant certaines conceptions de logique mathématique, Alfred North Whitehead collabora avec Bertrand Russell aux Principia mathematica, qui sont un des points de départ les plus importants des considérations logiques en Angleterre et en Amérique. On peut exposer sa philosophie en fonction...
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ZERMELO ERNST (1871-1953)
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Mathématicien et logicien allemand, né à Berlin et mort à Fribourg-en-Brisgau, fondateur de la théorie axiomatique des ensembles. En 1904, Ernst Zermelo explicite l'axiome du choix et en déduit que tout ensemble peut être bien ordonné, résultat déjà conjecturé par Moritz Cantor et...