logique mathématique et fondements des mathématiques

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19 articles

ANALYSE NON STANDARDÉcrit par 
Jean-Michel SALANSKIS
 • 1 417 mots
Au milieu du xxe siècle, le mathématicien et logicien Abraham Robinson (1918-1974) est parvenu à refonder la notion d'infinitésimale – de grandeur infiniment petite – dont Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) étaient supposés avoir délivré […]
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AXIOMATIQUEÉcrit par 
Georges GLAESER
 • 2 044 mots
La méthode axiomatique est un mode d'exposition des sciences exactes fondé sur des propositions admises sans démonstration et nettement formulées et des raisonnements rigoureux. On se limitera ici à quelques indications méthodologiques et historiques, en renvoyant à l'article logique mathématique pour les problèmes posés par l'étude d […]
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CONSTRUCTION, mathématiqueÉcrit par 
André WARUSFEL
 • 1 396 mots
Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xixe siècle et surtout le début du xxe, on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout rep […]
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CONSTRUCTIVISME, mathématiqueÉcrit par 
Jacques-Paul DUBUCS
 • 1 379 mots
Le constructivisme est une philosophie des mathématiques définie par deux composantes. Au plan ontologique, le constructiviste considère les objets mathématiques, non comme existant « par eux-mêmes », mais comme le résultat des constructions mentales du mathématicien. Au plan méthodologique, il insiste sur l'importance des preuves dites « constructives », c'est-à-dire des démonstrations qui, si el […]
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CONTINU & DISCRETÉcrit par 
Jean-Michel SALANSKIS
 • 7 682 mots

					    Dans le chapitre « Signification logico-mathématique de l'opposition »
					 : […]
			        Il faut distinguer un emploi adjectival du mot continu, principalement dans la locution application continue, de son emploi substantif, lorsqu'on parle du continu. Dans le premier emploi, continu désigne un caractère de régularité : les applications continues ne prennent jamais une valeur en un point qui contraste topologiquement avec les […]
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CONVENTIONNALISME, mathématiqueÉcrit par 
Gerhard HEINZMANN
 • 1 057 mots
Selon Kant, les jugements mathématiques ne sont ni analytiques et nécessaires, ni synthétiques et contingents. Ils sont synthétiques et a priori. Le conventionnalisme mathématique est une conception philosophique qui abandonne le caractère synthétique a priori des jugements géométriques. En effet, l'existence de plusieurs géométries possibles met en péril la solution kantienne. Si la négation de l […]
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ERREURÉcrit par 
Bertrand SAINT-SERNIN
 • 4 886 mots
 • 2 médias

					    Dans le chapitre « L'erreur en mathématiques »
					 : […]
			        L'idée de présenter les théories d'une manière axiomatique date des Grecs, et les Éléments d'Euclide ont constitué à cet égard un modèle pendant plus de deux millénaires. En fait, on s'est aperçu, au cours des siècles, que les figures jouaient un rôle équivoque dans certaines démonstrations, et on s'est efforcé de dissocier les représ […]
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FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématiqueÉcrit par 
Jacques-Paul DUBUCS
 • 1 498 mots
Le finitisme est un point de vue sur les fondements des mathématiques essentiellement défendu par le mathématicien David Hilbert (1862-1943) dans les années 1920, et particulièrement développé dans „Sur l'infini“, son célèbre article de 1925.Le  principe fondamental du finitisme consiste à me […]
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FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématiqueÉcrit par 
Jean-Paul DELAHAYE
 • 874 mots
Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique pouvant recueillir un soutien unanime (alors que les mathématiques, elles, avancent à grands pas et  […]
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FORMALISMEÉcrit par 
Étienne BALIBAR, 
Pierre MACHEREY
 • 5 016 mots
 • 1 média
Au sens moderne la formalisation est la présentation des théories scientifiques – et, en premier lieu sinon exclusivement, des mathématiques – dans le cadre d'un système formel, permettant de caractériser sans ambiguïté les expressions du langage et les règles de démonstration recevables.On aurait tort de considérer pour autant que l'importance scientifique de la formalisation  […]
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GÖDEL : THÉORÈMES D'INCOMPLÉTUDEÉcrit par 
Bernard PIRE
 • 176 mots
Deux ans après avoir soutenu sa thèse de doctorat à l'université de Vienne, le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel (1906-1978) prouve que, dans tout système mathématique axiomatique, il existe des propositions dont on ne peut démontrer ni la véracité ni la fauss […]
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INFINI, mathématiquesÉcrit par 
Jean Toussaint DESANTI
 • 10 383 mots
Le mot « infini » désigne un concept à entrées multiples. Il s'ouvre d'abord sur l'ontologie et signifie alors, selon la tradition, « l'être tel qu'on n'en saurait concevoir de plus grand » (« ens quo majus concipi non potes […]
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INTUITIONNISMEÉcrit par 
Jacques-Paul DUBUCS
 • 1 653 mots
Dans l'acception technique et contemporaine du mot, c'est-à-dire quand le terme ne se contente pas de caractériser une philosophie faisant à l'intuition une large part, l'intuitionnisme est à la fois une doctrine relative aux mathématiques, à la vérité et au langage, et une logi […]
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MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DESÉcrit par 
Jean Toussaint DESANTI
 • 10 451 mots
 • 1 média
Au sens premier et fort, le mot « fondement » désigne la base, jugée inébranlable, sur laquelle repose un corps d'énoncés, un système de connaissances, un complexe de croyances ou de conduites. « Reposer sur la base » signifie ici « trouver en elle à la fois son origine et sa raison ». Point fixe à partir de quoi l'on explique et déploie, région originaire où prend racine le riche contenu de l' […]
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NOMINALISME, mathématiqueÉcrit par 
Jean-Paul DELAHAYE
 • 932 mots
Le nominalisme dans son sens traditionnel est le refus de considérer qu'il existe des entités abstraites (les universaux). Très brièvement : les entités abstraites aident l'esprit à se repérer dans le monde et permettent la communication entre les hommes, mais fondamentalement elles sont illusoires. Depuis Guillaume d'Ockham (1290 env.-env. 1349), les nombreux objets considérés en mathématiques et […]
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OBJET MATHÉMATIQUEÉcrit par 
Patrick DEHORNOY
 • 1 063 mots
Le but des mathématiques est de démontrer des résultats non triviaux sur ce qu'on peut appeler globalement des objets mathématiques. Il en existe de nombreux types : nombres entiers, nombres réels, points, droites ou courbes de la géométrie, suites, séries et fonctions de l'analyse, ensembles divers, ensembles  […]
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PRÉDICATIVISME, mathématiqueÉcrit par 
Philippe de ROUILHAN
 • 1 011 mots
Doctrine selon laquelle certaines définitions naïvement reçues de la logique ou des mathématiques classiques recèlent une certaine sorte de circularité qu'on retrouve à l'origine de tous les grands paradoxes et qui, même quand elle n'y conduit pas, devrait être interdite. Le principe de cette interdiction est le « princip […]
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RÉALISME, mathématiqueÉcrit par 
Hourya BENIS-SINACEUR
 • 2 174 mots
Le réalisme affirme l'existence, indépendante et préalable à la connaissance que nous en avons, des entités mathématiques : nombres, figures, ensembles, fonctions, variétés, etc. Pour le réaliste, le mathématicien manipule des objets bien déterminés qui défient son intelligence. Connaître n'est pas  […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/realisme-mathematique/#i_0
STRUCTURALISME, mathématiqueÉcrit par 
Jean-Paul DELAHAYE
 • 1 697 mots
Concernant les mathématiques, deux « doctrines » assez différentes portent le nom de structuralisme. D'une part, le mot désigne une façon d'envisager l'organisation du champ des mathématiques autour des structures comme le sont les groupes, les ensembles ordonnés, les espaces topologiques, etc. Cette vision a été défendue en France par  […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/structuralisme-mathematique/#i_0

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