ENSEMBLES THÉORIE DES

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Diagrammes de Venn et de Carroll

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Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Arbre de choix d'un ensemble à trois éléments

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dessin

Adjonction d'un élément à une partie d'un ensemble

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Intersection

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Relations

Produit cartésien

Le couple

Soit E et F deux ensembles. Pour ∈ E et y ∈ F, on introduit un nouvel objet mathématique, le couple de premier terme x et de second terme y, défini par le symbole :

avec la convention que :

On appelle produit cartésien de deux ensembles E et F, noté E × F, l'ensemble des couples ayant pour premier terme un élément de E et pour second terme un élément de F. Par exemple, si E = {a, b, c} et F = {A, B} sont des ensembles à trois et deux éléments respectivement, l'ensemble E × F a six éléments qui sont :

et l'ensemble E × E a neuf éléments qui sont :
plus généralement, si E et F sont des ensembles finis contenant m et n éléments, le produit cartésien E × F est fini et contient mn éléments.

Justifions la terminologie de cartésien. Le choix de deux axes de coordonnées dans le plan de la géométrie élémentaire permet d'identifier l'ensemble des points du plan à l'ensemble R × R = R2 des couples de nombres réels, au point M correspondant le couple ayant pour premier terme l'abscisse de M et pour second terme son ordonnée ; c'est le principe de la géométrie analytique de Descartes, chez qui apparaît pour la première fois la notion mathématique de couple.

De nos jours, on définit souvent ainsi le plan de la géométrie élémentaire ; dans ce qui suit, cette identification sera toujours faite.

Représentations graphiques

On représente souvent (représentation dite cartésienne) un ensemble produit E × F par l'ensemble des points d'un rectangle (surtout ne pas confondre avec les diagrammes de Carroll !), les ensembles E et F étant représentés par deux côtés perpendiculaires de ce rectangle ; un sous-ensemble A de E × F est alors représenté par un sous-ensemble de ce rectangle.

Représentation cartésienne

Représentation cartésienne

Dessin

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Dans le cas d'ensembles finis, on peut faire le tableau donnant les éléments de l'ensemble produit ou utiliser une représentation par des points du plan (cf. pour l'exemple ci-dessus). Pour représenter les sous-ensembles, on peut indiquer leurs [...]

Représentation par les points du plan

Représentation par les points du plan

Dessin

 

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Autres références

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CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES

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Dans le chapitre « Le multiple pur »  : […] La philosophie d'Alain Badiou se présente donc comme une nouvelle doctrine de la vérité, étayée sur une théorie générale de l'événement. Mais cette pensée de l'exception, de la césure, est aussi une pensée de l'immanence radicale. En effet, les vérités (elles-mêmes multiples et non totalisables) ne sont nullement séparées du multiple, bien qu'elles ne se confondent pas avec lui. Elles coïncident a […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alain-badiou/#i_88489

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Voir aussi

Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, André ROUMANET, « ENSEMBLES THÉORIE DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/ensembles-theorie-des-theorie-elementaire/