ENSEMBLES THÉORIE DES

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Relations

Produit cartésien

Le couple

Soit E et F deux ensembles. Pour ∈ E et y ∈ F, on introduit un nouvel objet mathématique, le couple de premier terme x et de second terme y, défini par le symbole :

avec la convention que :

On appelle produit cartésien de deux ensembles E et F, noté E × F, l'ensemble des couples ayant pour premier terme un élément de E et pour second terme un élément de F. Par exemple, si E = {a, b, c} et F = {A, B} sont des ensembles à trois et deux éléments respectivement, l'ensemble E × F a six éléments qui sont :

et l'ensemble E × E a neuf éléments qui sont :
plus généralement, si E et F sont des ensembles finis contenant m et n éléments, le produit cartésien E × F est fini et contient mn éléments.

Justifions la terminologie de cartésien. Le choix de deux axes de coordonnées dans le plan de la géométrie élémentaire permet d'identifier l'ensemble des points du plan à l'ensemble R × R = R2 des couples de nombres réels, au point M correspondant le couple ayant pour premier terme l'abscisse de M et pour second terme son ordonnée ; c'est le principe de la géométrie analytique de Descartes, chez qui apparaît pour la première fois la notion mathématique de couple.

De nos jours, on définit souvent ainsi le plan de la géométrie élémentaire ; dans ce qui suit, cette identification sera toujours faite.

Représentations graphiques

On représente souvent (représentation dite cartésienne) un ensemble produit E × F par l'ensemble des points d'un rectangle (surtout ne pas confondre avec les diagrammes de Carroll !), les ensembles E et F étant représentés par deux côtés perpendiculaires de ce rectangle ; un sous-ensemble A de E × F est alors représenté par un sous-ensemble de ce rectangle.

Représentation cartésienne

Dessin : Représentation cartésienne

Dessin

 

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Dans le cas d'ensembles finis, on peut faire le tableau donnant les éléments de l'ensemble produit ou utiliser une représentation par des points du plan (cf. pour l'exemple ci-dessus). Pour représenter les sous-ensembles, on peut indiquer leurs [...]

Représentation par les points du plan

Dessin : Représentation par les points du plan

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Diagrammes de Venn et de Carroll

Diagrammes de Venn et de Carroll
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Arbre de choix d'un ensemble à trois éléments

Arbre de choix d'un ensemble à trois éléments
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Adjonction d'un élément à une partie d'un ensemble

Adjonction d'un élément à une partie d'un ensemble
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Pour citer l’article

André ROUMANET, Jean-Luc VERLEY, « ENSEMBLES THÉORIE DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/ensembles-theorie-des-theorie-elementaire/