ANALYSE MATHÉMATIQUE

Vers le milieu du xix^e siècle, à côté des groupes de permutations d'ensembles finis, introduits au début du siècle par Cauchy et Galois, on est peu à peu amené, dans des problèmes de géométrie, ou en vue d'intégration d'équations différentielles ou aux dérivées partielles, à considérer des groupes dont les éléments sont des transformations d'un espace Rⁿ ou d'une portion de cet espace, la loi du groupe étant (comme pour les permutations) la composition des transformations ; en général, ces groupes sont formés d'une infinité de transformations, dépendant de paramètres qui varient « continûment ». Par exemple, les homothéties :

de l'espace Rⁿ, de rapport t ≠ 0, forment un groupe dépendant du seul « paramètre » t. Les transformations orthogonales de R³, c'est-à-dire les transformations linéaires conservant la distance euclidienne forment un groupe de transformations :où la matrice :doit vérifier la relation ^tU(U = I (matrice unité) ; ces relations entraînent que U dépend de trois paramètres.

D'une façon générale, les transformations d'un groupe seront de forme S_t : x ↦ f (x, t), où x varie dans une variété différentielle M, le « paramètre » t dans une variété différentielle G et f est une application différentiable de M × G dans M (dans le premier exemple précédent, G est l'ouvert R − {0} complémentaire de 0 ; dans le second, G est la sous-variété de R⁹ formée des matrices orthogonales).

Puisque les transformations S_t doivent former un groupe, on doit avoir S_tS_t′ = S_t″, où t″ = g (t, t′), g étant donc une application différentiable de G × G dans G, qui définit sur G une loi de groupe. Une variété G munie d'une loi de groupe différentiable est appelée groupe de Lie réel (on peut définir de même des groupes de Lie complexes en partant de variétés analytiques complexes). La découverte fondamentale de Lie dans la théorie de ces groupes est que leur structure « infinitésimale » les détermine dans une très large mesure. De façon plus précise, en prenant sur G des coordonnées locales au voisinage de [...]