ANALYSE MATHÉMATIQUE

Groupes de Lie et espaces fibrés

Vers le milieu du xix^e siècle, à côté des groupes de permutations d'ensembles finis, introduits au début du siècle par Cauchy et Galois, on est peu à peu amené, dans des problèmes de géométrie, ou en vue d'intégration d'équations différentielles ou aux dérivées partielles, à considérer des groupes dont les éléments sont des transformations d'un espace Rⁿ ou d'une portion de cet espace, la loi du groupe étant (comme pour les permutations) la composition des transformations ; en général, ces groupes sont formés d'une infinité de transformations, dépendant de paramètres qui varient « continûment ». Par exemple, les homothéties :

de l'espace Rⁿ, de rapport t ≠ 0, forment un groupe dépendant du seul « paramètre » t. Les transformations orthogonales de R³, c'est-à-dire les transformations linéaires conservant la distance euclidienne forment un groupe de transformations :où la matrice :doit vérifier la relation ^tU(U = I (matrice unité) ; ces relations entraînent que U dépend de trois paramètres.

D'une façon générale, les transformations d'un groupe seront de forme S_t : x ↦ f (x, t), où x varie dans une variété différentielle M, le « paramètre » t dans une variété différentielle G et f est une application différentiable de M × G dans M (dans le premier exemple précédent, G est l'ouvert R − {0} complémentaire de 0 ; dans le second, G est la sous-variété de R⁹ formée des matrices orthogonales).

Puisque les transformations S_t doivent former un groupe, on doit avoir S_tS_t′ = S_t″, où t″ = g (t, t′), g étant donc une application différentiable de G × G dans G, qui définit sur G une loi de groupe. Une variété G munie d'une loi de groupe différentiable est appelée groupe de Lie réel (on peut définir de même des groupes de Liecomplexes en partant de variétés analytiques complexes). La découverte fondamentale de Lie dans la théorie de ces groupes est que leur structure « infinitésimale » les détermine dans une très large mesure. De façon plus précise, en prenant sur G des coordonnées locales au voisinage de l'élément neutre, le « paramètre » t correspond à un système de r nombres (t_k), et g (t, t′) est un système de r fonctions de 2r variables g_k (t₁, ..., t_r, t ′ ₁, ..., t ′ _r) ; la connaissance des dérivées des g_k au point correspondant à l'élément neutre (on peut supposer que c'est le point de coordonnées locales (0, ..., 0)) jusqu'au second ordre détermine complètement leurs développements de Taylor (et, en fait, par un choix convenable des coordonnées locales, on peut même faire en sorte que ces développements soient convergents au voisinage de l'origine). De plus, ces valeurs des dérivées d'ordre ≤ 2 ne sont pas arbitraires, et lorsqu'on écrit les conditions qu'elles doivent vérifier, on obtient une structure purement algébrique appelée algèbre de Lie, dont l'étude équivaut donc à l'étude locale des groupes de Lie. Jusque vers 1925, on se limita à cette dernière ; les travaux de Lie lui-même, puis de Killing et d' Élie Cartan mirent en évidence une classe particulière de groupes de Lie, les groupes semi-simples, que l'on peut déterminer de façon explicite et qui, ainsi que l'on s'en est peu à peu aperçu, jouent un rôle capital dans pratiquement toutes les parties des mathématiques. Avec les mémoires célèbres de H.  Weyl en 1925 commence la théorie des groupes de Lie sous leur aspect global, développée ensuite par É. Cartan lui-même et une pléiade de mathématiciens de la génération suivante ; il est remarquable qu'ici encore, tout au moins pour les groupes semi-simples connexes, la seule connaissance de l'algèbre de Lie g du groupe permette de décrire globalement tous[...]