ANALYSE MATHÉMATIQUE

Théorie spectrale et analyse fonctionnelle

On sait qu'un problème célèbre de mécanique consiste à déterminer les « petites oscillations » au voisinage d'une position d'équilibre d'un système formé d'un nombre fini de solides, donc « à un nombre fini de degrés de liberté » (ce qui signifie que l'état du système est entièrement connu par la donnée d'un nombre fini de paramètres réels q_j(1 ≤ j ≤ n) qui varient en fonction du temps t). La solution, due à Lagrange, consiste à chercher les « oscillations propres » (ou « en phase »), c'est-à-dire de la forme q_j(t) = c_jϕ(t), où c_j est une constante, et où figure pour tous les indices j la même fonction du temps ϕ (t) ; en admettant que l'énergie du système est un polynôme quadratique par rapport aux q_j, et en cherchant, pour la commodité du calcul, les solutions complexes des équations du mouvement, on trouve qu'il n'y a qu'un nombre fini de fonctions ϕ(t) possibles, de la forme exp (iλ_kt), où les nombres λ²_k sont les valeurs propres d'une matrice carrée symétrique U = (a_ji) d'ordre n. Si les λ²_k sont supposés distincts, il correspond à chacun d'eux un vecteur propre c_k = (c_kj) 1 ≤ j ≤ n, solution de l'équation U(x = λ²_kx  ; toute « oscillation » du système donné est alors combinaison linéaire des oscillations propres q_k (t) = c_k exp (iλ_kt).

La mécanique des milieux continus conduisait à des problèmes analogues, mais avec « une infinité de degrés de liberté » ; les exemples les plus simples en sont les petites oscillations d'une corde ou d'une membrane tendue : la forme de la corde (ou de la membrane) ne peut être décrite par un nombre fini de fonctions du temps seul, mais bien par une fonction u(x, t), ou u(x, y, t), qui représente le déplacement à l'instant t du point d'abscisse x (respectivement de coordonnées x, y) sur la corde (ou la membrane). Les oscillations « en phase », où tous les points se meuvent « de la même façon » dans le temps, sont ici observables expérimentalement (ce sont les « sons harmoniques »). Mathématiquement, elles correspondent à des solutions de la forme u(x, t) = v(x)ϕ(t) pour la corde (respectivement u(x, y, t)=v(x, y)ϕ(t) pour la membrane). On trouve encore que la fonction ϕ(t) doit, dans les deux cas, être de la forme exp (iλt) et l'on a alors pour la corde homogène l'équation v″ + λ²v = 0, pour la membrane l'équation :

Il faut exprimer en outre que la corde est fixée en ses extrémités, ce qui donne (en supposant que ces extrémités sont x = 0 et c = 1) v (0) = v (1) = 0, et que la membrane est fixée sur son contour Γ, ce qui donne v (x, y) = 0 le long de la courbe Γ ; c'est ce qu'on appelle les conditions aux limites du problème (fort différentes, comme on le voit, des « conditions initiales » de Cauchy). La solution est très simple pour la corde homogène, puisqu'on intègre explicitement l'équation v″ + λ²v = 0 : on trouve aussitôt qu'on doit avoir λ² = n²π², où n est entier, ce qui concorde avec les résultats expérimentaux. Mais déjà lorsque la corde n'est pas homogène, l'équation donnant v(x) (avec les mêmes conditions aux limites) est :

L'idée générale qui permit de vaincre ces difficultés est celle du « passage du fini à l'infini ». Cette idée fut déjà exprimée au xviii^e siècle par Daniel Bernoulli : l'illustre savant considérait l'oscillation[...]