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ANALYSE MATHÉMATIQUE

Fonctions elliptiques

Un des plus beaux exemples de l'élargissement apporté à l'analyse classique par la considération des fonctions de variables complexes est fourni par la théorie des fonctions elliptiques, développée par Abel et Jacobi indépendamment des premiers travaux de Cauchy (une bonne part de leurs résultats et même des développements plus tardifs sur la fonction modulaire ont d'ailleurs été retrouvés dans les papiers non publiés de Gauss, datant des environs de 1800).

Depuis le milieu du xviie siècle, le calcul de la longueur d'un arc d'ellipse posait aux analystes un problème non résolu : il s'agissait d'exprimer « en termes finis » (c'est-à-dire par une combinaison de « fonctions élémentaires » telles que xα, log x, ex) l'intégrale elliptique :

(k réel ≠ 0, ± 1).

Liouville devait prouver plus tard qu'il n'existe pas de telle expression, mais dès la fin du xviiie siècle, on commençait à étudier les propriétés de la fonction I(x) comme une nouvelle « transcendante ».

Le progrès considérable dû à Abel et à Jacobi consista d'une part à considérer la fonction « inverse » x=snu définie par I(x)=u, par une extension hardie du procédé qui peut servir à définir la fonction sin u comme solution de :

et d'autre part à donner à u des valeurs complexes. Cette extension du domaine de la « fonction elliptique » sn u mit aussitôt en évidence sa propriété fondamentale de double périodicité : il y a deux nombres réels non nuls K, K′ tels que :

Les nouvelles fonctions ainsi introduites devaient jouer un rôle très important en analyse, en géométrie algébrique et en théorie des nombres.

Déjà, avec Abel et Jacobi, avait commencé l'étude des « intégrales abéliennes » :

généralisation très vaste des intégrales elliptiques, où y est une « fonction algébrique » de x, définie par une équation polynomiale P(x, y) = 0, et R(x, y) une fraction rationnelle en x et y ; pour le cas où y2 = Q (x), où Q est un polynôme du 5e degré, Jacobi avait résolu le problème d'« inversion » analogue à celui de l'intégrale elliptique : il avait montré que, pour obtenir des fonctions analytiques « uniformes », il faut considérer, non pas l'unique équation :
mais deux équations :
et que, de ces équations, on tire les fonctions symétriques x1 + x2 et x1x2 comme fonctions analytiques des deux variables complexes u1, u2, ces fonctions étant quadruplement périodiques. Weierstrass et Riemann menèrent à bien la solution du problème général, qui introduit un invariant algébrique fondamental, l'entier p dit «   genre » de la courbe algébrique P(x, y) = 0 ; la solution fait alors intervenir des fonctions analytiques de p variables complexes, les « fonctions abéliennes », qui sont 2p fois périodiques. Indiquons que la théorie contemporaine des fonctions automorphes constitue une vaste généralisation des fonctions elliptiques et abéliennes, où le « groupe des périodes » Z2p est remplacé par un sous-groupe discret du groupe unimodulaire SL (n, C).

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Pour citer cet article

Jean DIEUDONNÉ. ANALYSE MATHÉMATIQUE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 1 304 mots

    À une époque où la Norvège était d'une extrême pauvreté par suite des guerres qui l'avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d'une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l'île de Finnøy, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d'Euler...

  • BESICOVITCH ABRAM SAMOILOVITCH (1891-1970)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 440 mots

    Mathématicien russe ayant effectué la plus grande part de ses recherches à Cambridge (Royaume-Uni), spécialiste de la théorie des fonctions. Né le 24 janvier 1891 à Berdyansk (Russie), Abram Samoilovitch Besicovitch est le fils d'un joaillier devenu caissier à la suite du cambriolage de sa boutique....

  • BOLZANO BERNARD (1781-1848)

    • Écrit par Jan SEBESTIK
    • 3 609 mots
    Le premier travail mathématique de Bolzano est consacré à la « démonstration » du postulat des parallèles d'Euclide.Plus importants sont ses mémoires d'analyse de 1816-1817, dont les préfaces esquissent le programme d'une « transformation totale des sciences a priori » et qui, en particulier,...

  • BOURGAIN JEAN (1954-2018)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 390 mots

    Mathématicien belge, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux en analyse. Né le 28 février 1954 à Ostende (Belgique), Jean Bourgain fait ses études supérieures à l'université libre de Bruxelles, où il soutient sa thèse de doctorat en 1977. Boursier de recherche puis professeur à Bruxelles...

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