ANALYSE MATHÉMATIQUE
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Mesure et intégration
La conception de l'intégrale au xviiie siècle reposait sur la notion intuitive d'« aire » : pour une fonction f (x), continue et ≥ 0 dans un intervalle a ≤ x ≤ b, l'intégrale :


L'intérêt propre de ce résultat était assez mince, mais il déclencha, dans le dernier tiers du xixe siècle, toute une série d'études en vue de définir, dans des cas aussi généraux que possible, une notion de « mesure » des sous-ensembles de R, et d'« intégrale » d'une fonction de variable réelle. Elles devaient finalement aboutir, vers 1900, avec Émile Borel et Henri Lebesgue, à la définition de l'« intégrale de Lebesgue », que l'expérience a montré être la notion d'« intégrale » commode et féconde pour d'innombrables applications.
D'autre part, en vue d'étudier un problème particulier d'analyse, Stieltjes, en 1894, élargit la définition traditionnelle de « mesure » sur R, qui donne pour « mesure » des intervalles d'extrémités a et b le nombre b − a ; Stieltjes considère plus généralement une fonction croissante ϕ, continue à droite (c'est-à-dire, telle que ϕ(x+) = ϕ(x)), et prend comme définition de la « mesure » de l'intervalle a < x ≤b le nombre ϕ(b) − ϕ(a), calquant ensuite la définition de l'intégrale :

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Écrit par :
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
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Pour citer l’article
Jean DIEUDONNÉ, « ANALYSE MATHÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/