ANALYSE MATHÉMATIQUE

Mesure et intégration

La conception de l'intégrale au xviii^e siècle reposait sur la notion intuitive d'« aire » : pour une fonction f (x), continue et ≥ 0 dans un intervalle a ≤ x ≤ b, l'intégrale :

était l'aire comprise entre la courbe y = f (x), l'axe Ox et les deux droites x = a et x = b. Avec la remise en ordre générale de l'analyse entreprise par Cauchy, on revient à une définition rigoureuse n'empruntant rien à l'intuition de l'espace : la valeur de l'intégrale est par définition prise comme limite, pour n tendant vers + ∞, des sommes :dites souvent « sommes de Riemann » (bien qu'en fait l'idée de considérer ces « valeurs approchées » de l'intégrale remonte à Eudoxe et Archimède et ait été l'inspiration des inventeurs du calcul intégral au xvii^e siècle). La contribution de Riemann lui-même fut de s'apercevoir que les sommes précédentes ont encore une limite lorsque la fonction f n'est plus nécessairement continue, mais a un ensemble de points de discontinuité qui, pour tout ε > 0, peut être contenu dans une réunion finie d'intervalles dont la somme des longueurs est ≤ ε.

L'intérêt propre de ce résultat était assez mince, mais il déclencha, dans le dernier tiers du xix^e siècle, toute une série d'études en vue de définir, dans des cas aussi généraux que possible, une notion de « mesure » des sous-ensembles de R, et d'« intégrale » d'une fonction de variable réelle. Elles devaient finalement aboutir, vers 1900, avec Émile Borel et Henri Lebesgue, à la définition de l'« intégrale de Lebesgue », que l'expérience a montré être la notion d'« intégrale » commode et féconde pour d'innombrables applications.

D'autre part, en vue d'étudier un problème particulier d'analyse, Stieltjes, en 1894, élargit la définition traditionnelle de « mesure » sur R, qui donne pour « mesure » des intervalles d'extrémités a et b le nombre b − a ; Stieltjes considère plus généralement une fonction croissante ϕ, continue à droite (c'est-à-dire, telle que ϕ(x₊) = ϕ(x)), et prend comme définition de la « mesure » de l'intervalle a < x ≤b le nombre ϕ(b) − ϕ(a), calquant ensuite la définition de l'intégrale :

sur celle de Cauchy. Un des intérêts de cette généralisation est qu'elle donne un sens mathématique aux « mesures ponctuelles » des physiciens : aux points a où la fonction ϕ est discontinue, l'ensemble {a} a une « mesure » non nulle égale au « saut » ϕ(a) − ϕ(a_-) de ϕ (ce qui implique naturellement que les quatre intervalles ayant pour extrémités a et b [qui peuvent ou non appartenir à l'intervalle] n'ont pas nécessairement même « mesure »). En outre, les méthodes de Lebesgue s'appliquent aussi à cette « mesure » plus générale, et on s'est aperçu plus récemment qu'elles sont valables dans des « espaces » beaucoup plus généraux que R, ce qui a donné à l'intégration un rôle de premier plan aussi bien dans l'analyse fonctionnelle que dans le calcul des probabilités.

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