GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

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Courbes tracées sur une surface

Soit C une courbe régulière orientée tracée sur une surface régulière S ; à tout point M de C on va attacher un repère, appelé trièdre de Darboux, obtenu de la manière suivante : soit t, n, b le trièdre de Frénet de la courbe C au point M ; le trièdre de Darboux e1, e2, e3 s'obtient en prenant pour e3 le vecteur unitaire normal en M à la surface associé à l'orientation de cette surface, et en prenant e1 = t (et e2 = e3 ∧ e1 pour obtenir un trièdre direct). Si s est l'abscisse curviligne sur C, on a alors les formules :

les nombres 1/ρg, 1/ρn et 1/τg ainsi définis s'appellent respectivement la courbure géodésique, la courbure normale et la torsion géodésique en M. Si ρ et τ sont la courbure et la torsion de C en M, on a, en désignant par θ l'angle des deux vecteurs n et e3 :

La courbure normale 1/ρn en M est la même pour toutes les courbes tracées sur S qui admettent la même tangente en ce point M ; en effet, 1/ρn = e3. (d2M/ds2), ce qui entraîne que cette courbure normale est égale à ψ(e1), en désignant par ψ la deuxième forme fondamentale. On en déduit le théorème de Meusnier : Si un plan P pivote autour d'une droite du plan tangent TMS, alors le centre de courbure (en M) de la section de S par P décrit un cercle passant par le point M. Un point d'une surface S pour lequel la courbure normale est la même dans toutes les directions est appelé un ombilic.

Une courbe tracée sur S est appelée une ligne asymptotique si la courbure normale en chacun de ses points est nulle ; en chaque point, tout vecteur tangent à une telle courbe annule la deuxième forme fondamentale. Par suite, il ne passe de lignes asymptotiques que par les points hyperboliques (deux directions asymptotiques) ou paraboliques (une direction asymptotique). Toute droite tracée sur une surface est une ligne asymptotique.

On appelle lignes de courbure les lignes dont la torsion géodésique en chaque point est nulle, et on montre que cette condition équivaut à dire que les normales à la surface S le long d'une telle courbe engendrent une surface développable ; ces normales sont l [...]

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Pour citer l’article

Paulette LIBERMANN, « GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 07 mai 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/