GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

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Formes fondamentales sur une surface

On appelle première forme fondamentale sur une surface S la forme quadratique Φ qui, à tout vecteur V tangent à S en M, associe le carré de sa longueur, soit :

Si au voisinage de M la surface S admet pour représentation paramétrique (uv) ↦ ϕ (uv), on écrit :

et on a :
en posant :
justifions ces notations. Si γ est un arc paramétré, dont le vecteur vitesse en M est égal à V, qui se factorise sous la forme γ = ϕ ∘ f (avec les notations du chapitre précédent), alors on a :
et par suite :

Définissons maintenant la deuxième forme fondamentale ; il sera pour cela nécessaire d'orienter la surface. Si la représentation paramétrique ϕ : U → S, U ⊂ R2 est régulière en tout point M de ϕ(U), le produit vectoriel :

m = ϕ-1(M) ∈ U, est non nul ; on peut donc associer à chaque point M de ϕ(U) un vecteur unitaire n normal à S de même sens que le produit vectoriel précédent, c'est-à-dire on oriente la surface. Si un arc paramétré :
se factorise sous la forme γ = ϕ ∘ f (cf. infra), alors le produit scalaire :
où D2ϕ est la dérivée seconde de ϕ, ne dépend que du vecteur tangent :
en effet, on a :
d'où :
en posant :

La forme quadratique ψ : V ↦ ψ(V) est appelée la deuxième forme fondamentale de la surface. On démontre que la quantité :

est indépendante de la représentation paramétrique. En particulier, pour la représentation paramétrique z = g(xy) utilisée dans le chapitre précédent (avec p = q = 0 en M), on a :
ce scalaire K s'appelle la courbure totale, ou courbure de Gauss, en M. Suivant le signe de K, le point est elliptique, hyperbolique ou parabolique (cf. chap. 5, Position par rapport au plan tangent) ; remarquons que, puisque la forme quadratique Φ est définie positive, le signe de K est celui de LN − M2.

C. Gauss a démontré que la courbure totale était déterminée par E, F, G et leurs dérivées partielles premières. Étant donné deux surfaces S et S′, on appelle isométrie locale de S dans S′ un difféomorphisme d'un ouvert U de E3 dans E3, appliquant S ∩ U dans S′ et transformant en chaque point M de S ∩ U la première forme fondamentale de S en la pr [...]


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Pour citer l’article

Paulette LIBERMANN, « GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 mars 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/