GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

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Propriétés globales liées à la courbure totale

Soit γ : I → S un arc paramétré d'une surface S. Si X = X(t) est un champ de vecteurs le long de la courbe C = γ(I), on définit la dérivée covariante DX/dt du champ X au point M = γ(t) en projetant le vecteur dX/dt sur le plan tangent TMS parallèlement à la normale. On dit alors que le champ X se déplace par parallélisme, ou est parallèle, si pour tout t ∈ I la dérivée covariante est nulle. Remarquons que la valeur X(t0) du champ en un point détermine alors le champ parallèle. En particulier, on dit qu'un arc paramétré est géodésique si sa vitesse se déplace par parallélisme ; une courbe géodésique devient un arc géodésique si on prend pour paramètre l'abscisse curviligne s ou tout autre paramètre t = as + b, a et b constants avec a ≠ 0.

Si la courbure totale n'est pas nulle, le transport par parallélisme le long d'un lacet (c'est-à-dire un arc paramétré γ : [ab] → S tel que γ(a) = γ(b) ne ramène pas en général le vecteur X(a) à sa position initiale et, par suite, si on considère deux points M et M′, le transport par parallélisme de M à M′ dépend du chemin choisi. En effet, on démontre que la « variation de l'angle » du vecteur X par transport parallèle le long d'un lacet est l'intégrale :

où Σ est la partie de S limitée par le lacet et dσ l'élément d'aire sur S.

D'autre part, on montre que si le lacet γ se compose d'un nombre fini d'arcs différentiables γk séparés par des points anguleux où l'angle du vecteur tangent à γ subit une discontinuité θi, on a :

formule de Gauss-Bonnet. Dans le cas particulier où γ est un triangle géodésique, c'est-à-dire un triangle curviligne dont les côtés sont des arcs géodésiques, l'intégrale de la torsion géodésique est nulle. Si on désigne par α1, α2, α3 les mesures en radian (comprises entre 0 et 2π) des angles du triangle, on a, puisque ces angles sont les supplémentaires de ceux qui interviennent dans la formule de Gauss-Bonnet :
pour le plan on retrouve le résultat classique que la somme des angles d'un triangle est égale à π. Sur une sphère de rayon R, on a :
où A est l'aire du trian [...]


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Dans le chapitre « Géométrie différentielle »  : […] Une des origines du calcul infinitésimal avait été l'étude des courbes planes (tangente, courbure, rectification, etc.), et un de ses succès au xviii e  siècle fut l'étude analogue des courbes gauches et des surfaces. Mais les résultats obtenus étaient relatifs à la position de la courbe ou surface dans l'espace (autrement dit, faisaient intervenir des points de l'espace non sur la courbe ou la s […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Paulette LIBERMANN, « GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/