GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

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Arcs paramétrés et trajectoires

Nous allons distinguer à présent les notions d'arc paramétré et de courbe régulière.

On appellera arc paramétré de classe Ck une application f d'un intervalle I = [a, b] de R dans E2 ou E3 qui soit k fois continûment dérivable dans I (en a et b, on considère respectivement les dérivées à droite et à gauche) ; dans ce qui suit, on supposera k assez grand pour que toutes les dérivations effectuées aient un sens. On appelle trajectoire de l'arc paramétré f le sous-ensemble image A = f (I).

On dira que deux arcs paramétrés (f, I) et (g, J) de classe Ck sont Ck-équivalents s'il existe un Ck-difféomorphisme ϕ de I sur J (c'est-à-dire une bijection k fois continûment dérivable ainsi que son inverse) tel que :

cela entraîne en particulier que les deux arcs ont la même trajectoire. On dira que le changement de loi de « temps » τ = ϕ(t) est un changement de paramètre admissible. Pour tout t ∈ I, on a dϕ/dt ≠ 0 ; les paramètres admissibles se répartissent donc en deux classes : ceux pour lesquels dϕ/dt > 0 et ceux pour lesquels dϕ/dt < 0. Choisir un signe revient à orienter la trajectoire.

Exemples

Considérons le « trèfle à quatre feuilles » :

pour 0 ≤ ≤ 2 π ; l'origine O est un point multiple pour la trajectoire, car on a y = 0 pour t = π/4, 3 π/4, 5 π/4, 7 π/4.

Trèfle à quatre feuilles

Dessin : Trèfle à quatre feuilles

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Soit maintenant, pour ∈ R, l'arc paramétré :

la trajectoire est composée d'arcs se déduisant les uns des autres par translation. C'est la cycloïde, trajectoire d'un point lié à un cercle qui roule sans glisser sur une droite.

Cycloïde

Dessin : Cycloïde

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Points réguliers

Soit f : I → E3 un arc paramétré. On appelle vitesse à l'instant t le vecteur dérivé :

si on change la loi de temps, t = ϕ(τ) et g(τ) = (ϕ(τ)), on a :
et les vecteurs (df/dt)(t) et (dg/dτ)(τ), par suite, sont colinéaires ou simultanément tous deux nuls.

Si (df/dt)(t) n'est pas nul et si t est un point intérieur à I, la droite portant le vecteur vitesse s'appelle la tangente en M à la trajectoire. Si I = [ab], on dit que l'arc est fermé lorsque (a) = f(b) ; remarquons que, même si en tout point la dérivée est non nulle, la trajectoire peut ne pas avoir de tangente en f(a) (par exemple si x = cos t cos 2 t, y = sin t cos 2 t pour π/4 ≤ ≤ 3 π/4).

Si t est intérieur à l'intervalle I et si ′(t) ≠ 0, on dit que le point (t) est un point régulier de la trajectoire ; cette propriété se conserve par changement de paramètre admissible. Il résulte alors du théorème des fonctions implicites (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables) qu'il existe un intervalle I1 ⊂ I contenant t tel que la restriction de f à I1, soit injective : par exemple, tous les points du cercle x = R cos t, y = R sin t sont des points réguliers et la restriction de f à

est injective pour tout t.

Pour un arc paramétré, le vecteur d2f/dt2 représente l'accélération. Dans un changement de paramètre admissible, on a, pour g(τ) = (t) :

ainsi, si les vecteurs df/dt et d2f/dt2 ne sont pas colinéaires, le vecteur d2g/dτ2 appartient au plan engendré par ces vecteurs, appelé plan osculateur à la trajectoire au point (t).

En un point régulier, désignons par p le plus petit entier ≥ 2 tel que le vecteur dpf/dtp soit non nul et non colinéaire au vecteur vitesse df/dt ; au voisinage d'un tel point, la trajectoire présente l'aspect indiqué sur la figure : le point est dit ordinaire si p est pair ; si p est impair, la trajectoire « traverse » la tangente au voisinage du point et on dit qu'il y a inflexion. Le cas où df/dt et d2f/dt2 sont colinéaires se ramène au précédent, car on peut trouver, dans un intervalle I1 ⊂ I contenant t, un changement de paramètre admissible tel que d2g/dτ2 soit nul.

Position d'une courbe par rapport à sa tangente

Diaporama : Position d'une courbe par rapport à sa tangente

Position d'une courbe par rapport à sa tangente en un point régulier 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Points singuliers

Soit maintenant t0 une valeur du paramètre pour laquelle le vecteur vitesse est nul ; on dit que le point (t0) est un point singulier. Soit p et q, p < q, les plus petits entiers tels que les vecteurs :

soient tous deux non nuls et non colinéaires.

Pour p impair, posons τ = (t − t0)p ; on définit ainsi un changement de paramètre qui est un homéomorphisme, mais qui n'est pas admissible au sens ci-dessus, car la fonction réciproque τ ↦ t = t0 + τ1/p n'est pas dérivable pour τ = 0. On a alors :

et, par suite, l'arc paramétré défini par l'application g est régulier pour τ = 0 et il a la même trajectoire que l'arc défini par f. On peut dire qu'on a une singularité « cinématique », due au paramétrage, et non une singularité de la trajectoire. Par exemple, l'arc paramétré défini par x = t3, y = t6, z = t9 a une singularité pour t = 0, mai [...]

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Pour citer l’article

Paulette LIBERMANN, « GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 janvier 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/