GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

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Arcs paramétrés et trajectoires

Nous allons distinguer à présent les notions d'arc paramétré et de courbe régulière.

On appellera arc paramétré de classe Ck une application f d'un intervalle I = [a, b] de R dans E2 ou E3 qui soit k fois continûment dérivable dans I (en a et b, on considère respectivement les dérivées à droite et à gauche) ; dans ce qui suit, on supposera k assez grand pour que toutes les dérivations effectuées aient un sens. On appelle trajectoire de l'arc paramétré f le sous-ensemble image A = f (I).

On dira que deux arcs paramétrés (f, I) et (g, J) de classe Ck sont Ck-équivalents s'il existe un Ck-difféomorphisme ϕ de I sur J (c'est-à-dire une bijection k fois continûment dérivable ainsi que son inverse) tel que :

cela entraîne en particulier que les deux arcs ont la même trajectoire. On dira que le changement de loi de « temps » τ = ϕ(t) est un changement de paramètre admissible. Pour tout t ∈ I, on a dϕ/dt ≠ 0 ; les paramètres admissibles se répartissent donc en deux classes : ceux pour lesquels dϕ/dt > 0 et ceux pour lesquels dϕ/dt < 0. Choisir un signe revient à orienter la trajectoire.

Exemples

Considérons le « trèfle à quatre feuilles » :

pour 0 ≤ ≤ 2 π ; l'origine O est un point multiple pour la trajectoire, car on a y = 0 pour t = π/4, 3 π/4, 5 π/4, 7 π/4.

Trèfle à quatre feuilles

Trèfle à quatre feuilles

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Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Soit maintenant, pour ∈ R, l'arc paramétré :

la trajectoire est composée d'arcs se déduisant les uns des autres par translation. C'est la cycloïde, trajectoire d'un point lié à un cercle qui roule sans glisser sur une droite.

Cycloïde

Cycloïde

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Points réguliers

Soit f : I → E3 un arc paramétré. On appelle vitesse à l'instant t le vecteur dérivé :

si on change la loi de temps, t = ϕ(τ) et g(τ) = (ϕ(τ)), on a :
et les vecteurs (df/dt)(t) et (dg/dτ)(τ), par suite, sont colinéaires ou simultanément tous deux nuls.

Si (df/dt)(t) n'est pas nul et si t est un point intérieur à I, la droite portant le vecteur vitesse s'appelle la tangente en M à la trajectoire. Si I = [ab], on dit que l'arc est fermé lorsque (a) = f(b) ; remarquons que, même si en tout point la dérivée est non nulle, la trajectoire peut ne pas [...]


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Trèfle à quatre feuilles

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Cycloïde

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Position d'une courbe par rapport à sa tangente

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Points de rebroussement

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Dans le chapitre « Géométrie différentielle »  : […] Une des origines du calcul infinitésimal avait été l'étude des courbes planes (tangente, courbure, rectification, etc.), et un de ses succès au xviii e  siècle fut l'étude analogue des courbes gauches et des surfaces. Mais les résultats obtenus étaient relatifs à la position de la courbe ou surface dans l'espace (autrement dit, faisaient intervenir des points de l'espace non sur la courbe ou la s […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Paulette LIBERMANN, « GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 mai 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/