GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Arcs paramétrés et trajectoires

Nous allons distinguer à présent les notions d' arc paramétré et de courbe régulière.

On appellera arc paramétré de classe C^k une application f d'un intervalle I =[a, b]de R dans E₂ ou E₃ qui soit k fois continûment dérivable dans I (en a et b, on considère respectivement les dérivées à droite et à gauche) ; dans ce qui suit, on supposera k assez grand pour que toutes les dérivations effectuées aient un sens. On appelle trajectoire de l'arc paramétré f le sous-ensemble image A = f (I).

On dira que deux arcs paramétrés (f, I) et (g, J) de classe C^k sont C^k-équivalents s'il existe un C^k-difféomorphisme ϕ de I sur J (c'est-à-dire une bijection k fois continûment dérivable ainsi que son inverse) tel que :

cela entraîne en particulier que les deux arcs ont la même trajectoire. On dira que le changement de loi de « temps » τ = ϕ(t) est un changement de paramètre admissible. Pour tout t ∈ I, on a dϕ/dt ≠ 0 ; les paramètres admissibles se répartissent donc en deux classes : ceux pour lesquels dϕ/dt > 0 et ceux pour lesquels dϕ/dt < 0. Choisir un signe revient à orienter la trajectoire.

Exemples

Trèfle à quatre feuilles - crédits : Encyclopædia Universalis France — Trèfle à quatre feuilles
Encyclopædia Universalis France

Considérons le « trèfle à quatre feuilles » :

pour 0 ≤ t ≤ 2 π ; l'origine O est un point multiple pour la trajectoire, car on a x = y = 0 pour t = π/4, 3 π/4, 5 π/4, 7 π/4.

Cycloïde - crédits : Encyclopædia Universalis France — Cycloïde
Encyclopædia Universalis France

Soit maintenant, pour t ∈ R, l'arc paramétré :

la trajectoire est composée d'arcs se déduisant les uns des autres par translation. C'est la cycloïde, trajectoire d'un point lié à un cercle qui roule sans glisser sur une droite.

Points réguliers

Soit f : I → E₃ un arc paramétré. On appelle vitesse à l'instant t le vecteur dérivé :

si on change la loi de temps, t = ϕ(τ) et g(τ) = f (ϕ(τ)), on a :

et les vecteurs (df/dt)(t) et (dg/dτ)(τ), par suite, sont colinéaires ou simultanément tous deux nuls.

Si (df/dt)(t) n'est pas nul et si t est un point intérieur à I, la droite portant le vecteur vitesse s'appelle la tangente en M à la trajectoire. Si I = [a, b], on dit que l'arc est fermé lorsque f (a) = f(b) ; remarquons que, même si en tout point la dérivée est non nulle, la trajectoire peut ne pas avoir de tangente en f(a) (par exemple si x = cos t cos 2 t, y = sin t cos 2 t pour π/4 ≤ t ≤ 3 π/4).

Si t est intérieur à l'intervalle I et si f ′(t) ≠ 0, on dit que le point f (t) est un point régulier de la trajectoire ; cette propriété se conserve par changement de paramètre admissible. Il résulte alors du théorème des fonctions implicites (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables) qu'il existe un intervalle I₁ ⊂ I contenant t tel que la restriction de f à I₁, soit injective : par exemple, tous les points du cercle x = R cos t, y = R sin t sont des points réguliers et la restriction de f à

est injective pour tout t.

Pour un arc paramétré, le vecteur d²f/dt² représente l' accélération. Dans un changement de paramètre admissible, on a, pour g(τ) = f (t) :

ainsi, si les vecteurs df/dt et d²f/dt² ne sont pas colinéaires, le vecteur d²g/dτ² appartient au plan engendré par ces vecteurs, appelé plan osculateur à la trajectoire au point f (t).

Position d'une courbe par rapport à sa tangente - crédits : Encyclopædia Universalis France — Position d'une courbe par rapport à sa tangente
Encyclopædia Universalis France

En un point régulier, désignons par p le plus petit entier ≥ 2 tel que le vecteur d^pf/dt^p soit non nul et non colinéaire au vecteur vitesse df/dt ; au voisinage d'un tel point, la trajectoire présente l'aspect indiqué sur la figure : le point est dit ordinaire si p est pair ; si p est impair, la trajectoire « traverse » la tangente au voisinage du point et on dit qu'il y a inflexion. Le cas où df/dt et d²f/dt² sont colinéaires se ramène au précédent, car on peut trouver, dans un intervalle I₁⊂ I contenant t[...]

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Écrit par

Paulette LIBERMANN : professeur à l'université de Paris-VII

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(). Encyclopædia Universalis. (consulté le )

. . Encyclopædia Universalis. Consulté le .

. « ». Encyclopædia Universalis [en ligne], , (consulté le )

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Autres références

ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 8 527 mots
Une des origines du calcul infinitésimal avait été l'étude des courbes planes (tangente, courbure, rectification, etc.), et un de ses succès au xviii^e siècle fut l'étude analogue des courbes gauches et des surfaces. Mais les résultats obtenus étaient relatifs à la position de la courbe ou surface...

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