GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Courbes régulières

Nous sommes enfin capables de donner une définition correcte de la notion de courbe régulière.

Par définition, une courbe régulière C, de classe C^k, de l'espace euclidien E₃ ou E₂ est un sous-ensemble qui possède la propriété suivante : Tout point x ∈ C est centre d'une boule ouverte B (resp. d'un disque ouvert B) telle qu'il existe un arc paramétré f : I → E₃ (ou E₂), de classe C^k, tel que f′(t) ≠ 0 pour tout t ∈ I, qui soit un homéomorphisme de I sur C ∩ B. Ainsi C est une réunion de trajectoires d'arc paramétrés sans points singuliers. Si (f_i, I_i) et (f_j, I_j) sont deux représentations paramétriques telles que I_ij = f_i(I_i) ∩ f_j(I_j) ne soit pas vide, alors, f_j^-1∘f_i, défini dans f_i^-1(I_ij), est un changement de paramètre admissible. Ce qui précède sur les arcs paramétrés montre qu'on peut définir la tangente en chaque point ainsi que, quand le plan osculateur est défini, le trièdre de Frénet. Remarquons qu'une courbe aussi simple que la cycloïde ne rentre cependant pas dans ce cadre, car elle présente des points singuliers.

Le théorème des fonctions implicites entraîne que si F est une fonction numérique sur E², différentiable de dérivée ne s'annulant pas sur F^-1(a) pour un nombre réel a, l'ensemble F^-1(a) est une courbe régulière ; de même, dans E₃, si deux fonctions F₁ et F₂ sont indépendantes, l'ensemble défini par F₁ = constante et F₂ = constante est une courbe régulière. Par exemple, dans le plan, l'équation :

Enfin, une courbe régulière est dite orientée si tous les changements de représentation paramétrique f_j^-1 ∘ f_i sont des fonctions croissantes.

On peut démontrer pour les courbes fermées régulières planes les deux théorèmes suivants : l'angle dont « tourne » le vecteur unitaire tangent à une telle courbe orientée est ± 2π ; pour toute courbe fermée convexe (c'est-à-dire ne présentant pas d'inflexion, et par suite pour laquelle la courbure garde un signe constant) il y a au moins quatre sommets (c'est-à-dire des points où la courbure présente un extrémum).