GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Définition des surfaces

Surfaces régulières

On appellera surface régulière de classe C^k, k ≥ 1, de l'espace euclidien E₃ un sous-ensemble S ⊂ E₃ possédant la propriété suivante : Tout point de S est centre d'une boule ouverte B de E₃ telle qu'il existe une application ϕ de classe C^k d'un ouvert U de R² dans E₃ :

de rang 2 en tout point de U, qui soit un homéomorphisme de U sur S ∩ B. Si ϕ = (ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃), où ϕ₁, ϕ₂ et ϕ₃ sont des fonctions numériques de classe C^k, la condition sur le rang signifie que la matrice :est de rang 2, ou encore que le produit vectoriel :est un vecteur non nul.

L'application ϕ est appelée une représentation paramétrique vraie, ou régulière, de V = S ∩ B. Il résulte alors du théorème des fonctions implicites qu'au voisinage de chaque point de S on peut exprimer l'une des coordonnées comme fonction de classe C^k des deux autres, l'application ainsi définie étant de rang 2. Si (ϕ_i, U_i) et (ϕ_j, U_j) sont deux représentations paramétriques telles que V_ij = ϕ_i(U_i) ∩ ϕ_j(U_j) ne soit pas vide, le changement de paramètre ϕ_j^-1 ∘ ϕ_i est un difféomorphisme de classe C^k de ϕ_i^-1(V_ij) sur ϕ_j^-1(V_ij). Ces considérations conduisent directement à la notion de variété différentiable générale.

Par exemple, pour la sphère S de centre O et de rayon 1, la représentation paramétrique :

n'est pas régulière aux pôles. Par contre, au moyen d'une projection stéréographique de pôle (P(0, 0, 1), on définit une application de classe C^k de R² sur S − {P} :qui est un homéomorphisme. De même, l'inversion de pôle P′(0, 0, − 1) applique R² sur S − {P′} :dans R² − {O}, le changement de paramètre est l'inversion de pôle O et de puissance 1 :

En utilisant le fait que S est compacte (fermée et bornée dans R³), on peut montrer qu'il n'existe aucune représentation paramétrique régulière de la sphère tout entière.

De manière générale, soit f une fonction numérique de classe C^k définie dans E₃  ; si a ∈ f (E₃) est tel que f soit de rang 1 (c'est-à-dire que sa différentielle ne s'annule pas) en tout point de f^-1(a), alors le théorème des fonctions implicites entraîne que l'ensemble f ^-1(a) est une surface régulière. Par exemple, la sphère est définie par l'équation :

S'il existe des points de f^-1(a) où la différentielle s'annule, on dit que f^-1(a) est une surface avec singularités ; par exemple le cône x² + y² − z² = 0, vu au chapitre 2, a l'origine pour point singulier (sommet du cône).

Comme exemples importants de surfaces régulières, on a notamment les quadriques (à l'exclusion du cône) définies par une équation :

où f est un polynôme de degré 2, par exemple l'hyperboloïde à une nappe :il admet la représentation paramétrique :qui n'est pas régulière, car non bijective. Par contre, cette représentation paramétrique définit un difféomorphisme de S₁ × R sur la surface, en désignant par S₁ le cercle de centre O et de rayon 1. Un autre exemple est le paraboloïde hyperbolique (« selle de cheval ») d'équation :qui est difféomorphe à R².

On dit qu'une surface S est réglée si par tout point de S passe au moins une droite entièrement contenue dans S ; une telle droite est appelée une génératrice de la surface. Par exemple, l'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique sont engendrés par deux familles à un paramètre de droites : par chaque point passe une génératrice de chaque famille.

Parmi les autres surfaces d'un type particulier, notons les surfaces de révolution : une surface S (régulière ou avec singularités) est dite de révolution autour d'un axe D si toute rotation d'axe D transforme S en elle-même. Ainsi, si M est un point de S qui n'appartient pas à D, le cercle d'axe D passant par M est entièrement situé dans S ; on dit qu'un tel cercle est un parallèle de la surface. De même, on appelle méridien les intersections de S avec les plans passant par D ; bien entendu, la terminologie précédente généralise celle adoptée traditionnellement pour la sphère qui est de révolution autour de tout axe passant par son centre. Par exemple, pour a = b, l'hyperboloïde à une nappe est de révolution autour de l'axe Oz ; c'est la surface engendrée par la rotation d'une droite autour d'un axe non coplanaire et les méridiens sont des hyperboles. Le tore est défini par la rotation d'un cercle autour d'une droite de son plan ne le rencontrant pas. Il admet la représentation paramétrique (non régulière, parce que non bijective) :

cette représentation paramétrique définit un difféomorphisme de S₁ × S₁ sur le tore, en désignant toujours par S₁ le cercle de rayon 1.

Pl [...]

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