GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

On appellera surface régulière de classe C^k, k ≥ 1, de l'espace euclidien E₃ un sous-ensemble S ⊂ E₃ possédant la propriété suivante : Tout point de S est centre d'une boule ouverte B de E₃ telle qu'il existe une application ϕ de classe C^k d'un ouvert U de R² dans E₃ :

de rang 2 en tout point de U, qui soit un homéomorphisme de U sur S ∩ B. Si ϕ = (ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃), où ϕ₁, ϕ₂ et ϕ₃ sont des fonctions numériques de classe C^k, la condition sur le rang signifie que la matrice :est de rang 2, ou encore que le produit vectoriel :est un vecteur non nul.

L'application ϕ est appelée une représentation paramétrique vraie, ou régulière, de V = S ∩ B. Il résulte alors du théorème des fonctions implicites qu'au voisinage de chaque point de S on peut exprimer l'une des coordonnées comme fonction de classe C^k des deux autres, l'application ainsi définie étant de rang 2. Si (ϕ_i, U_i) et (ϕ_j, U_j) sont deux représentations paramétriques telles que V_ij = ϕ_i(U_i) ∩ ϕ_j(U_j) ne soit pas vide, le changement de paramètre ϕ_j^-1 ∘ ϕ_i est un difféomorphisme de classe C^k de ϕ_i^-1(V_ij) sur ϕ_j^-1(V_ij). Ces considérations conduisent directement à la notion de variété différentiable générale.

Par exemple, pour la sphère S de centre O et de rayon 1, la représentation paramétrique :

n'est pas régulière aux pôles. Par contre, au moyen d'une projection stéréographique de pôle (P(0, 0, 1), on définit une application de classe C^k de R² sur S − {P} :qui est un homéomorphisme. De même, l'inversion de pôle P′(0, 0, − 1) applique R² sur S − {P′} :dans R² − {O}, le changement de paramètre est l'inversion de pôle O et de puissance 1 :

En utilisant le fait que S est compacte (fermée et bornée dans R³), on peut montrer qu'il n'existe aucune représentation paramétrique régulière de la sphère tout entière.

De manière générale, soit f une fonction numérique de classe C^k définie dans E₃  ; si a ∈ f (E₃) est tel que f soit de rang 1 (c'est-à-dire que sa différentielle ne s'annule pas) en tout point de f^-1(a), alors le théorème des fonctions implicites entraîne que l'ensemble f ^-1(a) est u [...]