GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Surfaces régulières

On appellera surface régulière de classe C^k, k ≥ 1, de l'espace euclidien E₃ un sous-ensemble S ⊂ E₃ possédant la propriété suivante : Tout point de S est centre d'une boule ouverte B de E₃ telle qu'il existe une application ϕ de classe C^k d'un ouvert U de R² dans E₃ :

de rang 2 en tout point de U, qui soit un homéomorphisme de U sur S ∩ B. Si ϕ = (ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃), où ϕ₁, ϕ₂ et ϕ₃ sont des fonctions numériques de classe C^k, la condition sur le rang signifie que la matrice :est de rang 2, ou encore que le produit vectoriel :est un vecteur non nul.

L'application ϕ est appelée une représentation paramétrique vraie, ou régulière, de V = S ∩ B. Il résulte alors du théorème des fonctions implicites qu'au voisinage de chaque point de S on peut exprimer l'une des coordonnées comme fonction de classe C^k des deux autres, l'application ainsi définie étant de rang 2. Si (ϕ_i, U_i) et (ϕ_j, U_j) sont deux représentations paramétriques telles que V_ij = ϕ_i(U_i) ∩ ϕ_j(U_j) ne soit pas vide, le changement de paramètre ϕ_j^-1∘ ϕ_i est un difféomorphisme de classe C^k de ϕ_i^-1(V_ij) sur ϕ_j^-1(V_ij). Ces considérations conduisent directement à la notion de variété différentiable générale.

Par exemple, pour la sphère S de centre O et de rayon 1, la représentation paramétrique :

n'est pas régulière aux pôles. Par contre, au moyen d'une projection stéréographique de pôle (P(0, 0, 1), on définit une application de classe C^k de R² sur S − {P} :qui est un homéomorphisme. De même, l' inversion de pôle P′(0, 0, − 1) applique R² sur S − {P′} :dans R² − {O}, le changement de paramètre est l'inversion de pôle O et de puissance 1 :

En utilisant le fait que S est compacte (fermée et bornée dans R³), on peut montrer qu'il n'existe aucune représentation paramétrique régulière de la sphère tout entière.

De manière générale, soit f une fonction numérique de classe C^k définie dans E₃ ; si a ∈ f (E₃) est tel que f soit de rang 1 (c'est-à-dire que sa différentielle ne s'annule pas) en tout point de f^-1(a), alors le théorème des fonctions implicites entraîne que l'ensemble f ^-1(a) est une surface régulière. Par exemple, la sphère est définie par l'équation :

S'il existe des points de f^-1(a) où la différentielle s'annule, on dit que f^-1(a) est une surface avec singularités ; par exemple le cône x² + y² − z² = 0, vu au chapitre 2, a l'origine pour point singulier (sommet du cône).

Comme exemples importants de surfaces régulières, on a notamment les quadriques (à l'exclusion du cône) définies par une équation :

où f est un polynôme de degré 2, par exemple l'hyperboloïdeà une nappe :il admet la représentation paramétrique :qui n'est pas régulière, car non bijective. Par contre, cette représentation paramétrique définit un difféomorphisme de S₁ × R sur la surface, en désignant par S₁ le cercle de centre O et de rayon 1. Un autre exemple est le paraboloïde hyperbolique (« selle de cheval ») d'équation :qui est difféomorphe à R².

On dit qu'une surface S est réglée si par tout point de S passe au moins une droite entièrement contenue dans S ; une telle droite est appelée une génératrice de la surface. Par exemple, l'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique sont engendrés par deux familles à un paramètre de droites : par chaque point passe une génératrice de chaque famille.

Parmi les autres surfaces d'un type particulier, notons les surfaces de révolution : une surface S (régulière ou avec singularités) est dite de révolution autour d'un axe D si toute rotation d'axe D transforme S en elle-même. Ainsi, si M est un point de S qui n'appartient pas à D, le cercle[...]