GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

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Définition des surfaces

Surfaces régulières

On appellera surface régulière de classe Ck, k ≥ 1, de l'espace euclidien E3 un sous-ensemble S ⊂ E3 possédant la propriété suivante : Tout point de S est centre d'une boule ouverte B de E3 telle qu'il existe une application ϕ de classe Ck d'un ouvert U de R2 dans E3 :

de rang 2 en tout point de U, qui soit un homéomorphisme de U sur S ∩ B. Si ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3), où ϕ1, ϕ2 et ϕ3 sont des fonctions numériques de classe Ck, la condition sur le rang signifie que la matrice :
est de rang 2, ou encore que le produit vectoriel :
est un vecteur non nul.

L'application ϕ est appelée une représentation paramétrique vraie, ou régulière, de V = S ∩ B. Il résulte alors du théorème des fonctions implicites qu'au voisinage de chaque point de S on peut exprimer l'une des coordonnées comme fonction de classe Ck des deux autres, l'application ainsi définie étant de rang 2. Si (ϕi, Ui) et (ϕj, Uj) sont deux représentations paramétriques telles que Vij = ϕi(Ui) ∩ ϕj(Uj) ne soit pas vide, le changement de paramètre ϕj-1 ∘ ϕi est un difféomorphisme de classe Ck de ϕi-1(Vij) sur ϕj-1(Vij). Ces considérations conduisent directement à la notion de variété différentiable générale.

Changement de paramètre pour une surface

Changement de paramètre pour une surface

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Changement de paramètre pour une surface S 

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Par exemple, pour la sphère S de centre O et de rayon 1, la représentation paramétrique :

n'est pas régulière aux pôles. Par contre, au moyen d'une projection stéréographique de pôle (P(0, 0, 1), on définit une application de classe Ck de R2 sur S − {P} :
qui est un homéomorphisme. De même, l'inversion de pôle P′(0, 0, − 1) applique R2 sur S − {P′} :
dans R2 − {O}, le changement de paramètre est l'inversion de pôle O et de puissance 1 :

En utilisant le fait que S est compacte (fermée et bornée dans R3), on peut montrer qu'il n'existe aucune représentation paramétrique régulière de la sphère tout entière.

De manière générale, soit f une fonction numérique de classe Ck définie dans E ; si ∈ (E3) est tel que f soit de rang 1 (c'est-à-dire que sa différentielle ne s'annule pas) en tout point de f-1(a), alors le théorème des fonctions implicites entraîne que l'ensemble -1(a) est u [...]


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  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Dans le chapitre « Géométrie différentielle »  : […] Une des origines du calcul infinitésimal avait été l'étude des courbes planes (tangente, courbure, rectification, etc.), et un de ses succès au xviii e  siècle fut l'étude analogue des courbes gauches et des surfaces. Mais les résultats obtenus étaient relatifs à la position de la courbe ou surface dans l'espace (autrement dit, faisaient intervenir des points de l'espace non sur la courbe ou la s […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/#i_30159

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Paulette LIBERMANN, « GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/