GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Remarques sur les courbes et les surfaces

On a une notion intuitive de « courbe » dans l'espace euclidien à 2 ou 3 dimensions : une courbe de E₂ est définie par une équation F(x, y) = 0, ou y = f (x) ; une courbe de E₃, est définie par deux équations z = g(x) et y = f (x), ou F(x, y, z) = 0 et G(x, y, z) = 0. De même, une « surface » de E₃ est définie par une équation z = f (x, y), ou F (x, y, z) = 0.

Mais, si on veut préciser ces notions, des difficultés surgissent. Par exemple, le cercle de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de E₂ dont les coordonnées vérifient l'équation :

mais on peut aussi représenter ce cercle par :or l'application ainsi définie de l'intervalle fermé [0, 2π] sur le cercle n'est pas biunivoque, car les extrémités de cet intervalle sont appliquées sur le même point A (1, 0) du cercle. Or, ce point ne présente aucune singularité sur le cercle.

De même, la sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de E₃ dont les coordonnées vérifient :

mais elle peut aussi être représentée par :pour 0 ≤ t ≤ 2π et − π/2 ≤ u ≤ π/2, les courbes u = constante étant les parallèles et les courbes t = constante étant les méridiens. Mais l'application ainsi définie d'un rectangle de E₂ sur la sphère n'est pas biunivoque : les « pôles » P (0, 0, 1) et P′ (0, 0, − 1) correspondent respectivement à u = π/2 et u = − π/2, t quelconque ; pourtant les points P et P′ ne présentent aucune singularité sur la sphère.

Par contre, le cône de révolution d'axe Oz d'équation :

est en correspondance bijective avec le plan d'équation z = 0, cette correspondance associant au point m (x, y) le point M(x, y, z) tel que :pourtant ce cône présente un point singulier qui est son sommet.