GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

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Remarques sur les courbes et les surfaces

On a une notion intuitive de « courbe » dans l'espace euclidien à 2 ou 3 dimensions : une courbe de E2 est définie par une équation F(xy) = 0, ou y = (x) ; une courbe de E3, est définie par deux équations z = g(x) et y = (x), ou F(xyz) = 0 et G(xyz) = 0. De même, une « surface » de E3 est définie par une équation z = (xy), ou F (xyz) = 0.

Mais, si on veut préciser ces notions, des difficultés surgissent. Par exemple, le cercle de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de E2 dont les coordonnées vérifient l'équation :

mais on peut aussi représenter ce cercle par :
or l'application ainsi définie de l'intervalle fermé [0, 2π] sur le cercle n'est pas biunivoque, car les extrémités de cet intervalle sont appliquées sur le même point A (1, 0) du cercle. Or, ce point ne présente aucune singularité sur le cercle.

De même, la sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de E3 dont les coordonnées vérifient :

mais elle peut aussi être représentée par :
pour 0 ≤ t ≤ 2π et − π/2 ≤ u ≤ π/2, les courbes u = constante étant les parallèles et les courbes t = constante étant les méridiens. Mais l'application ainsi définie d'un rectangle de E2 sur la sphère n'est pas biunivoque : les « pôles » P (0, 0, 1) et P′ (0, 0, − 1) correspondent respectivement à u = π/2 et u = − π/2, t quelconque ; pourtant les points P et P′ ne présentent aucune singularité sur la sphère.

Par contre, le cône de révolution d'axe Oz d'équation :

est en correspondance bijective avec le plan d'équation z = 0, cette correspondance associant au point m (xy) le point M(xyz) tel que :
pourtant ce cône présente un point singulier qui est son sommet.


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Paulette LIBERMANN, « GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/