GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

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Position d'une courbe par rapport à sa tangente

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L'histoire des courbes planes est intimement liée à l'histoire et aux développements du calcul infinitésimal, et les premiers résultats obtenus au xviie siècle sont directement issus de considérations géométriques et cinématiques (cf. calcul infinitésimal – Histoire). Les courbes dans l'espace à trois dimensions (dites à « double courbure ») ont été étudiées par Clairaut (1731). C'est Monge qui, dans un mémoire présenté en 1771, introduisit les notions fondamentales de rayon de courbure et de surface réglée développable engendrée par les tangentes à une courbe gauche. En 1826, Cauchy définit la normale principale et donna des expressions de la courbure et de la torsion. Enfin, Frénet (1847) et Serret (1850) démontrèrent l'équivalent des formules qui portent leur nom.

Les surfaces, pour leur part, ont été au xviiie siècle une occasion naturelle de développer les fonctions de plusieurs variables. Euler, Monge admettent implicitement l'existence du plan tangent, qui est établie par Dupin en 1813 et reprise par Cauchy (1826). L'étude de la courbure entreprise par Euler (1760), qui introduisit les directions principales, a été approfondie par Meusnier (1776), Monge (1784) qui introduisit les lignes de courbure et Dupin (1813) qui introduisit les directions conjuguées et l'indicatrice qui porte son nom.

La contribution fondamentale de Gauss (Disquisitiones circa superficies curvas, 1827) donna un nouveau visage à la géométrie différentielle. Il utilisa une représentation paramétrique des surfaces (amorce de la notion de carte locale) et dégagea le caractère intrinsèque de la courbure totale ; tous les résultats du chapitre 6 lui sont dus. Enfin, le tournant décisif est dû à Riemann (Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie, 1854) qui surmonta les difficultés rencontrées pour donner une définition globale mathématiquement satisfaisante des courbes et des surfaces en introduisant la notion de variété à n dimensions.

On se bornera dans cet article à l'étude des courbes et surfaces plongées dans l'espace euclidien à d [...]

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ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Dans le chapitre « Géométrie différentielle »  : […] Une des origines du calcul infinitésimal avait été l'étude des courbes planes (tangente, courbure, rectification, etc.), et un de ses succès au xviii e  siècle fut l'étude analogue des courbes gauches et des surfaces. Mais les résultats obtenus étaient relatifs à la position de la courbe ou surface dans l'espace (autrement dit, faisaient interveni […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/#i_30159

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Pour citer l’article

Paulette LIBERMANN, « GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/