GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

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L'histoire des courbes planes est intimement liée à l'histoire et aux développements du calcul infinitésimal, et les premiers résultats obtenus au xviie siècle sont directement issus de considérations géométriques et cinématiques (cf. calcul infinitésimal – Histoire). Les courbes dans l'espace à trois dimensions (dites à « double courbure ») ont été étudiées par Clairaut (1731). C'est Monge qui, dans un mémoire présenté en 1771, introduisit les notions fondamentales de rayon de courbure et de surface réglée développable engendrée par les tangentes à une courbe gauche. En 1826, Cauchy définit la normale principale et donna des expressions de la courbure et de la torsion. Enfin, Frénet (1847) et Serret (1850) démontrèrent l'équivalent des formules qui portent leur nom.

Les surfaces, pour leur part, ont été au xviiie siècle une occasion naturelle de développer les fonctions de plusieurs variables. Euler, Monge admettent implicitement l'existence du plan tangent, qui est établie par Dupin en 1813 et reprise par Cauchy (1826). L'étude de la courbure entreprise par Euler (1760), qui introduisit les directions principales, a été approfondie par Meusnier (1776), Monge (1784) qui introduisit les lignes de courbure et Dupin (1813) qui introduisit les directions conjuguées et l'indicatrice qui porte son nom.

La contribution fondamentale de Gauss (Disquisitiones circa superficies curvas, 1827) donna un nouveau visage à la géométrie différentielle. Il utilisa une représentation paramétrique des surfaces (amorce de la notion de carte locale) et dégagea le caractère intrinsèque de la courbure totale ; tous les résultats du chapitre 6 lui sont dus. Enfin, le tournant décisif est dû à Riemann (Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie, 1854) qui surmonta les difficultés rencontrées pour donner une définition globale mathématiquement satisfaisante des courbes et des surfaces en introduisant la notion de variété à n dimensions.

On se bornera dans cet article à l'étude des courbes et surfaces plongées dans l'espace euclidien à deux ou trois dimensions. Les définitions correctes exigent l'emploi du théorème des fonctions implicites, c'est pourquoi on introduira d'abord ici la notion d'arc paramétré, dont l'image est une trajectoire, puis on effectuera l'étude locale ; la notion de courbe s'obtiendra ensuite en « recollant » de manière régulière une réunion de trajectoires. On définira de même les surfaces en recollant entre elles des images de représentations paramétriques régulières ; on introduira les deux formes fondamentales (l'ensemble de ces deux formes définit localement la surface à un déplacement euclidien près) et la courbure totale (qui ne dépend que de la première forme fondamentale). Cette courbure totale joue un grand rôle, tant dans l'étude locale (position par rapport au plan tangent) que globale (caractéristique d'Euler-Poincaré) des surfaces.

Sur quelques propriétés de l'espace euclidien

La structure E3, d'espace euclidien de R3 est définie par le choix du produit scalaire usuel pour lequel la base canonique ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1) est orthonormée (cf. groupes – Groupes classiques et géométrie) ; la norme de X = (x, y, z) est alors :

Un déplacement euclidien D est une application affine de R3 dans R3 telle que l'application linéaire associée soit une rotation, c'est-à-dire une transformation orthogonale de déterminant égal à 1 ; l'ensemble des déplacements euclidiens forme alors un groupe G, produit semi-direct du groupe additif R3 (groupe des translations) et du groupe O+(3, R) des rotations. Un déplacement euclidien est défini par les trois composantes (a1, a2, a3) de la translation et les éléments aji d'une matrice orthogonale de déterminant 1. On appelle mouvement euclidien une application t ↦ Dt d'un intervalle I de R dans le groupe G ; ce mouvement sera dit différentiable de classe Ck si les fonctions tai(t) et t aji(t) définissant ce mouvement sont des fonctions k fois continûment dérivables de t. Dans une interprétation cinématique, le paramètre t désigne le temps. Dans ce qui suit, nous adopterons le langage de la cinématique (vitesse, accélération) pour un paramétrage quelconque.

Un repère T (M, e1, e2, e3) de l'espace euclidien E3 est le transformé par un déplacement D du repère canonique (O, ε1, ε2, ε3) ; (e1, e2, e3) est donc une base orthonormée de E3 (considéré comme espace vectoriel) de même sens que (ε1, ε2, ε3), ce qui oriente l'espace. De plus, étant donné deux repères T et T′, il existe un déplacement euclidien et un seul transformant T en T′.

À un mouvement euclidien t ↦ Dt correspond un repère mobile Tt = Dt (T0) (on peut également définir un repère dépendant de plusieurs paramètres) défini par :

pour i = 1, 2, 3 ; si on rapporte les vecteurs dérivés dM/dt et dei/dt au repère mobile, on a, en utilisant le fait que d (ei . ej)/dt = 0 :

Le vecteur ω de composantes (p, q, r) est le vecteur rotation instantanée du mouvement ; pour tout vecteur V lié à Tt, c'est-à-dire tel que :

a, b, c sont des constantes, on a alors :

On démontre que toute application continue d'une partie de E3 dans E3, qui est une isométrie (c'est-à-dire conserve la norme), est une restriction de déplacement euclidien ou d'antidéplacement (transformation affine dont la transformation linéaire associée est orthogonale de déterminant − 1).

Rappelons enfin (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables) qu'une application f d'un ouvert U de Rp dans R3 est dite différentiable de classe Ck si f s'exprime au moyen de trois fonctions numériques, f = (f1, f2, f3), admettant des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre k. La différentielle Df (a) de f au point a = (a1a2, ..., ap) ∈ U est l'application linéaire de Rp dans R3 définie par :

pour h = (h1, ..., hp) ∈ Rp ; on considérera souvent la forme quadratique associée à la différentielle seconde en a, définie par :
on appelle application affine tangente en a à f l'application affine Taf définie par :
ce qui équivaut à :
où ε(h) tend vers 0 quand h tend vers 0.

Rappelons enfin que, si on compose deux applications différentielles g et f, on a :

et
en particulier, si Dg(b) (et par suite Tbg) est une bijection, alors Tb(∘ g) et Tg(b)f ont la même image. Dans le cas particulier où g est une fonction d'une variable, alors on a :

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  • Jean DIEUDONNÉ
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Dans le chapitre « Géométrie différentielle »  : […] Une des origines du calcul infinitésimal avait été l'étude des courbes planes (tangente, courbure, rectification, etc.), et un de ses succès au xviii e  siècle fut l'étude analogue des courbes gauches et des surfaces. Mais les résultats obtenus étaient relatifs à la position de la courbe ou surface dans l'espace (autrement dit, faisaient intervenir des points de l'espace non sur la courbe ou la s […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Paulette LIBERMANN, « GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/