IDÉALISME

La réalité mathématique se présente sous trois aspects : entités, conceptions abstraites, symboles. Privilégier l'un de ces aspects à l'exclusion des autres donne à chaque fois une philosophie des mathématiques : platonisme ou réalisme, constructivisme, formalisme. L'attitude constructiviste, représentée par les intuitionnistes qui se rangent du côté de Luitzen Egbertus Jan Brouwer, correspond à l'idéalisme.

Les intuitionnistes soutiennent que les mathématiques consistent en une activité mentale d'engendrement d'objets et de preuves. Aucune proposition n'a de valeur de vérité indépendamment du fait que nous en possédons une démonstration ou une réfutation. Admettre qu'une proposition est vraie ou fausse en soi implique la croyance à une réalité mathématique en soi, alors que seule une construction effective peut conférer à une proposition une valeur logique. Les raisons par lesquelles les intuitionnistes rejettent la validité universelle et a priori du tiers exclu suffisent à mettre en lumière le caractère idéaliste de la doctrine : les mathématiques sont coextensives à l'expérience subjective qu'on en a, dans des constructions ou des opérations réalisées dans la pensée. Le langage symbolique n'est qu'un moyen d'enregistrement qui facilite la communication.

Le point de vue formaliste s'apparente au positivisme, qui attribue un caractère de certitude fondamentale aux constatations des sens. Ce qui est objet de perception sensible en l'occurrence, ce sont les symboles concrets et les suites de tels symboles, appelées formules. Les mathématiques seront donc des systèmes de formules obtenues par des manipulations réglées de symboles concrets. Une démonstration formelle ou formalisée est une suite de formules dont chacune est soit un axiome soit un conséquent de règle dont l'antécédent est un axiome ou une formule déjà démontrée. En fait, personne n'a jamais vu de dé [...]