Logique mathématique
4352BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE
La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités) et en logique […] Lire la suite
DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA
La théorie de la démonstration est la logique de la logique. En contraste avec d'autres sous-domaines tels que la théorie des modèles, les grandes questions qui ont tant passionné nos pères ont laissé une trace vivace dans cette discipline, qui s'occupe essentiellement (c'est là la définition technique de la théorie de la démonstration) de l'aspe […] Lire la suite
IDÉALISME
Il est probable que l'idéalisme se sépare du réalisme en accordant au jugement la primauté sur le concept. Ce sont les concepts qui ont d'abord la charge de l'import ontologique. Admettre que le jugement définit des concepts, ou que les concepts dérivent des jugements, équivaut à définir les concepts au moyen des relations ; alors ils dépendent directement d […] Lire la suite
LES LOIS DE LA PENSÉE (G. Boole)
Le mathématicien britannique Georges Boole (1815-1864) est le fondateur de la logique symbolique moderne. Autodidacte sans aucun titre universitaire, il soutient que la logique doit être rattachée aux mathématiques et non à la philosophie. En 1854, il publie l'exposé abouti de ses idées dans un traité dont le titre complet est significatif : Une exploration des lois de la pensée sur […] Lire la suite
LOGIQUE
L'année 1847, où paraît la Mathematical Analysis of Logic de George Boole, marque le départ d'une nouvelle forme de logique, une logique qui, à la fois symbolique et mathématique, réalise enfin le double rêve de Leibniz. Se fondant sur certaines analogies entre les opérations fondamentales de l […] Lire la suite
MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES
On trouvera ailleurs (cf. cantor, frege, logique mathématique) l'exposé des travaux de Frege et de Cantor, que nous ne pourrions ici qu'évoquer de la manière la plus insignifiante.Nous nous contenterons de quelques remarques de caractère épistémologique.Les œuvres de Frege et de Cantor sont produites dans le même contexte math […] Lire la suite
MODÈLES THÉORIE DES
« Modèle » est un terme qui appartient au vocabulaire de la plupart des sciences et qui a des significations multiples. Ainsi, dans les sciences humaines, on entend généralement par modèle une théorie conçue pour expliquer un ensemble de phénomènes, alors qu'en logique mathématique on parle des modèles d'une théorie. Dans ce qui suit, il s'agira exclusivement des modèles et de la théorie des modèl […] Lire la suite
MODÉLISATION, mathématique
La notion de modèle en mathématiques se présente sous un double aspect : d'une part, les mathématiques permettent de modéliser, c'est-à-dire de représenter, toutes sortes de situations, d'objets et de structures du monde réel, l'étude mathématique ou les simulations informatiques de ces représentations nous informant – lorsque les représentations sont b […] Lire la suite
NOTATION MATHÉMATIQUE
Depuis Leibniz, on a avancé divers systèmes de notations pour la logique symbolique. Il faut mentionner les tentatives de Boole (1847), E. Schröder (1877), G. Frege (1879, 1893), Peano (1891, et son Formulaire de mathématique à partir de 1895), Russell et Whitehead (1910) ; tous ces systèmes incluent les notations ensemblistes.Il y a un manque d'uniformité dans les notations en […] Lire la suite
PROPOSITIONNEL CALCUL
Logique des propositions inanalysées, reliées par des connecteurs propositionnels (non ; et ; ou ; si..., alors...), qui sont des foncteurs de vérité ; ce qui signifie que la valeur de vérité du composé est directement et mécaniquement fonction (d'après les définitions de la négation, de la conjonction, de la disjonction et de l'implication) des val […] Lire la suite
QUANTIFICATION, logique
Notion usitée en logique des prédicats. On peut, avec W. V. O. Quine, diviser en trois la logique contemporaine :1. La théorie des fonctions de vérité a pour objet les structures logiques engendrées en construisant des propositions composées à partir de propositions simples, à l'aide des particules « et », « ou », « non », « si..., alors... » ; on l'appelle aussi calcul des pro […] Lire la suite
RÉCURSIVITÉ, logique mathématique
Les (semi-) fonctions récursives ont été introduites pour donner un équivalent mathématique à la notion métamathématique intuitive de (semi-) fonction effectivement ou mécaniquement calculable (cf. logique mathématique, chap. 4). Par souci de simplicité, nous considérons ici le cas des fonctions des entiers dans les entiers, bien que l'on puisse définir la notion de récursi […] Lire la suite
RELATION
La méthode axiomatique permet d'aborder le problème de la nature de la relation par un tout autre biais. Elle consiste à donner une caractérisation implicite de la notion en énonçant certaines propositions dans lesquelles elle figure ; le contenu de la notion est alors déterminé par les possibilités déductives contenues dans ces propositions (c'est-à-dire qu […] Lire la suite
TURING MACHINE DE
Dans l'article « On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem », publié en 1936 dans les Proceedings of the Mathematical Society, Alan Mathison Turing (1912-1954) montre qu'il existe des nombres définissables qui ne sont pas calculables. Cela implique qu'il n'existe pas de solution au célèbre problèm […] Lire la suite
VALIDITÉ, logique
Propriété de l'inférence qui la qualifie quant à sa fonction essentielle. L'inférence consiste à passer de propositions vraies assertées comme prémisses à une proposition vraie assertée comme conclusion. Si l'inférence est telle que, si je suis assuré de la vérité des prémisses, alors je le suis également de la vérité de la conclusion, l'inférence est dite […] Lire la suite
VÉRITÉ VALEUR DE
Expression exclusivement technique, usitée en logique moderne. Les valeurs de vérité sont au nombre de deux : le vrai et le faux. Elles sont assignées aux propositions atomiques (de manière analogue à l'assignation de valeurs numériques aux expressions algébriques). La valeur de vérité des propositions composées ou moléculaires est directement fonction des valeurs de vérité des propositions atomiq […] Lire la suite
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Théorie de la démonstration.
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Les opérateurs booléens et leurs combinaisons : les portes logiques. L'algèbre de Boole est une algèbre binaire qui s'applique au domaine des propositions. Une proposition ne peut adopter que deux valeurs : oui/non, vrai/faux, haut/bas, 1/0, sans possibilité...
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Théorie de la démonstration
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Tripartition signe-sens-référence
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Algèbre de Boole
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